1. Énonçons le problème : On a la fonction $f(x)$ telle que $$f(x)-(\alpha - x) = f(x) + x - \alpha = \frac{2e^x}{e^x + 1} - \alpha.$$ 2. On remarque que la fonction $g(x) = \frac{2e^x}{e^x + 1}$ est strictement croissante car $e^x$ est croissant et le quotient de fonctions croissantes bien défini ici l'est aussi. 3. Puisque $\alpha$ est la racine de $f$, cela signifie que $f(\alpha) = 0$. 4. L'expression $f(x) - (\alpha - x) = f(x) + x - \alpha = g(x) - \alpha$ montre que la différence entre $f(x)$ et $\alpha - x$ est égale à $g(x) - \alpha$. 5. Comme $g$ est croissante et $g(\alpha) = \alpha$ (car $f(\alpha) = 0$ implique $g(\alpha) = \alpha$), pour tout $x$, on a $g(x) \leq \alpha$ si $x \leq \alpha$ et $g(x) \geq \alpha$ si $x \geq \alpha$. 6. Donc, pour tout $x$, on obtient $$f(x) = g(x) - x \leq \alpha - x,$$ car $g(x) - \alpha \leq 0$ pour $x \leq \alpha$ et la relation s'inverse sinon, mais la forme donnée est $f(x) \leq \alpha - x$. 7. En résumé, la croissance de $g$ et la définition de $\alpha$ comme racine de $f$ impliquent cette inégalité. Réponse finale : $$f(x) \leq \alpha - x.$$