1. **Énoncé du problème** : Étudier la dérivabilité et déterminer la dérivée des fonctions données. 2. **Fonction 1** : $f(x) = -x^3 + 3x^2 + 1$ - $f$ est un polynôme, donc dérivable sur $\mathbb{R}$. - Calcul de la dérivée : $$f'(x) = -3x^2 + 6x$$ 3. **Fonction 2** : $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 3x$ - $f$ est un polynôme, dérivable sur $\mathbb{R}$. - Dérivée : $$f'(x) = x^2 + 4x + 3$$ 4. **Fonction 3** : $f(x) = (\sin x)^3 \tan x$ - Domaine : $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$ (car $\tan x$ non défini). - Dérivée par produit et chaîne : $$f'(x) = 3(\sin x)^2 \cos x \tan x + (\sin x)^3 \sec^2 x$$ 5. **Fonction 4** : $f(x) = (2x^2 + 5)^3$ - Dérivable sur $\mathbb{R}$. - Dérivée par chaîne : $$f'(x) = 3(2x^2 + 5)^2 \times 4x = 12x (2x^2 + 5)^2$$ 6. **Fonction 5** : $f(x) = (2x^2 + 1)(3x - 1)^2$ - Dérivable sur $\mathbb{R}$. - Dérivée par produit : $$f'(x) = 4x (3x - 1)^2 + (2x^2 + 1) \times 2 (3x - 1) \times 3 = 4x (3x - 1)^2 + 6 (2x^2 + 1)(3x - 1)$$ 7. **Fonction 6** : $f(x) = \frac{1}{x+1}$ - Domaine : $x \neq -1$. - Dérivée : $$f'(x) = -\frac{1}{(x+1)^2}$$ 8. **Fonction 7** : $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x + 3}$ - Domaine : $x \neq -3$. - Dérivée par quotient : $$f'(x) = \frac{2x (x+3) - (x^2 + 1)}{(x+3)^2} = \frac{x^2 + 6x - 1}{(x+3)^2}$$ 9. **Fonction 8** : $f(x) = x^2 + 1 + \sqrt{x}$ - Domaine : $x \geq 0$. - Dérivée : $$f'(x) = 2x + \frac{1}{2\sqrt{x}}$$ 10. **Fonction 9** : $f(x) = \sqrt{\frac{1}{2 - x}}$ - Domaine : $x < 2$. - Dérivée : $$f'(x) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2 - x}\right)^{-\frac{1}{2}} \times \frac{1}{(2 - x)^2} = \frac{1}{2 \sqrt{\frac{1}{2 - x}}} \times \frac{1}{(2 - x)^2}$$ 11. **Fonction 10** : $f(x) = \sqrt{2x - 3}$ - Domaine : $x \geq \frac{3}{2}$. - Dérivée : $$f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{2x - 3}} \times 2 = \frac{1}{\sqrt{2x - 3}}$$ 12. **Fonction 11** : $f(x) = \sqrt{\frac{x - 1}{x - 2}}$ - Domaine : $x > 2$ ou $x < 1$ (pour que le quotient soit positif). - Dérivée par chaîne et quotient : $$f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{\frac{x - 1}{x - 2}}} \times \frac{(x - 2) - (x - 1)}{(x - 2)^2} = \frac{1}{2 f(x)} \times \frac{-1}{(x - 2)^2} = -\frac{1}{2 f(x) (x - 2)^2}$$ 13. **Fonction 12** : $f(x) = \frac{1}{2} x \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$ - Dérivée par produit : $$f'(x) = \frac{1}{2} \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) - x \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$$ 14. **Fonction 13** : $f(x) = \frac{x \sqrt{x + 1}}{2x - 3}$ - Domaine : $x \geq -1$ et $x \neq \frac{3}{2}$. - Dérivée par quotient et produit (détaillée) : $$f'(x) = \frac{(2x - 3) \left( \sqrt{x + 1} + \frac{x}{2 \sqrt{x + 1}} \right) - x \sqrt{x + 1} \times 2}{(2x - 3)^2}$$ 15. **Fonction 14** : $f(x) = 2x \sqrt{x^2 + 1}$ - Dérivable sur $\mathbb{R}$. - Dérivée par produit : $$f'(x) = 2 \sqrt{x^2 + 1} + 2x \times \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{2(x^2 + 1) + 2x^2}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{4x^2 + 2}{\sqrt{x^2 + 1}}$$ **Réponse finale** : Chaque fonction est dérivable sur son domaine naturel, et les dérivées sont données ci-dessus.