1. Énonçons le problème : Montrer que la fonction $$g(x) = \frac{k}{\sqrt[3]{n+1} - 1}$$ est dérivable en 0. 2. Remarquons que la fonction semble dépendre de la variable $n$, mais la question porte sur la dérivabilité en 0, donc on suppose que $n$ est une variable et on étudie $g(n)$ en $n=0$. 3. Posons $$f(n) = \sqrt[3]{n+1} - 1$$, alors $$g(n) = \frac{k}{f(n)}$$. 4. Pour étudier la dérivabilité de $g$ en 0, il faut que $f(n)$ soit dérivable en 0 et que $f(0) \neq 0$ pour que $g$ soit définie en 0. 5. Calculons $f(0)$ : $$f(0) = \sqrt[3]{0+1} - 1 = 1 - 1 = 0$$. 6. Comme $f(0) = 0$, $g(0)$ n'est pas défini directement. Il faut donc étudier la limite de $g(n)$ quand $n \to 0$. 7. Étudions la limite de $g(n)$ quand $n \to 0$ : $$\lim_{n \to 0} g(n) = \lim_{n \to 0} \frac{k}{\sqrt[3]{n+1} - 1}$$. 8. Utilisons le développement de Taylor de $\sqrt[3]{n+1}$ en 0 : $$\sqrt[3]{n+1} = 1 + \frac{1}{3}n - \frac{1}{9}n^2 + o(n^2)$$. 9. Donc $$f(n) = \sqrt[3]{n+1} - 1 = \frac{1}{3}n - \frac{1}{9}n^2 + o(n^2)$$. 10. Ainsi, $$g(n) = \frac{k}{\frac{1}{3}n - \frac{1}{9}n^2 + o(n^2)} = \frac{k}{n} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3} - \frac{1}{9}n + o(n)}$$. 11. Quand $n \to 0$, $$\frac{1}{\frac{1}{3} - \frac{1}{9}n + o(n)} \to 3$$. 12. Donc $$g(n) \sim \frac{k}{n} \times 3 = \frac{3k}{n}$$, ce qui diverge quand $n \to 0$. 13. Conclusion : $g$ n'est pas définie en 0 et ne peut pas être dérivable en 0 telle quelle. 14. Cependant, si la variable est $x$ et la fonction est $$g(x) = \frac{k}{\sqrt[3]{x+1} - 1}$$, on peut définir une fonction auxiliaire $$h(x) = \sqrt[3]{x+1} - 1$$. 15. Pour montrer que $g$ est dérivable en 0, on peut multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué cubique ou utiliser la règle de l'Hôpital. 16. Calculons la limite $$\lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} \frac{k}{\sqrt[3]{x+1} - 1}$$. 17. En utilisant la règle de l'Hôpital, dérivons numérateur et dénominateur : $$\lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} \frac{0}{\frac{1}{3}(x+1)^{-2/3}} = \infty$$, donc la limite n'existe pas. 18. Pour que $g$ soit dérivable en 0, il faut que $g$ soit définie en 0. On peut définir $g(0)$ par continuité si la limite existe. 19. En fait, la fonction $g$ n'est pas définie en 0, mais on peut définir une fonction $G(x) = k \cdot \frac{\sqrt[3]{x+1}^2 + \sqrt[3]{x+1} + 1}{x}$ qui est dérivable en 0. 20. En résumé, $g$ n'est pas dérivable en 0 telle quelle, mais une fonction équivalente peut être dérivable en 0. Réponse finale : La fonction $g$ n'est pas dérivable en 0 car elle n'est pas définie en 0, mais une fonction équivalente peut être dérivable en 0 en utilisant une extension ou une définition par continuité.