📘 algèbre linéaire

1. **Énoncé du problème :** Déterminer le type d'ensemble $A = (1,2) + \lambda(1,1) + \mu(1,-2)$ avec $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$. 2. **Formule et règles importantes :** Un ensem

1. **Déterminer k pour que U et V soient orthogonaux** Les vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.

1. Énoncé du problème : Soient $p$ et $n$ deux entiers naturels non nuls supérieurs ou égaux à 2, et $x=(x_1, x_2, \ldots, x_n)$, $y=(y_1, y_2, \ldots, y_n)$ deux éléments de $(\ma

1. Le problème consiste à comprendre ce qu'est une base orthonormée dans un espace vectoriel. 2. Une base orthonormée est un ensemble de vecteurs qui sont à la fois orthogonaux (pe

1. Le problème : Comprendre ce qu'est une matrice et comment elle fonctionne. 2. Définition : Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres organisés en lignes et colonnes.

1. **Énoncé du problème :** Montrer que l'ensemble $F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y - x = 0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$, déterminer une base de $F$,

1. Énoncé du problème : Vérifier si les vecteurs $u_1=(-1,2,-3)$ et $u_2=(1,-1,2)$ appartiennent à l'ensemble $F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 ; z + y - x = 0\}$. 2. Rappel de la dé

1. **Énoncé du problème :** Montrer que l'ensemble $F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid z + y - x = 0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ et déterminer une base de $F

1. **Énoncé du problème :** Trouver la forme quadratique $q$ associée à la forme bilinéaire symétrique $b$ définie sur $\mathbb{R}^3$ par

1. Énonçons le problème : Le théorème de la base incomplète concerne la complétion d'une base incomplète d'un espace vectoriel en une base complète. 2. Formule et principe : Si $E$

1. **Énoncé du problème :** Trouver le noyau (ker) d'une application linéaire $f$. 2. **Définition :** Le noyau de $f$, noté $\ker(f)$, est l'ensemble des vecteurs $v$ tels que $f(

1. Énoncer le problème : Nous voulons vérifier si un groupe de vecteurs est linéairement dépendant. 2. Définition : Un ensemble de vecteurs $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \

1. Énonçons le problème : Nous devons déterminer si les vecteurs \( \begin{bmatrix} e^{2t} \\ e^{t} \end{bmatrix} \) et \( \begin{bmatrix} e^{t} \\ e^{2t} \end{bmatrix} \) sont lin

1. **Énoncé du problème** : - Exercice 4 : Montrer que la matrice $A \in M_n(\mathbb{R})$ définie par

1. Le théorème de Cauchy-Schwarz est une inégalité fondamentale en algèbre linéaire et analyse. 2. Énoncé : Pour tous vecteurs $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ dans un espace euclidien

### Exercice N°3 1. **Définir la forme polaire f de q**

1. **Énoncé du problème** : Soit $n \geq 4$ et $u$ l'endomorphisme de l'espace vectoriel $E$ tel que pour tout polynôme $P \in E$, $$ u(P) = Q \quad \text{où} \quad Q(X) = P(0)L_1(

1. **Définitions de base** 1) Valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre

1. **Énoncé du problème:** Calculer la matrice $A$ donnée par