1. Énoncer le problème : Nous voulons vérifier si un groupe de vecteurs est linéairement dépendant. 2. Définition : Un ensemble de vecteurs $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\}$ est linéairement dépendant s'il existe des scalaires $c_1, c_2, \ldots, c_n$, pas tous nuls, tels que $$c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0}.$$ 3. Démarche : - Écrire l'équation vectorielle ci-dessus. - Traduire cette équation en un système d'équations linéaires en fonction des composantes des vecteurs. - Résoudre ce système pour les scalaires $c_i$. 4. Interprétation : - Si la seule solution est $c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0$, alors les vecteurs sont linéairement indépendants. - Si une solution non triviale existe (au moins un $c_i \neq 0$), alors ils sont linéairement dépendants. 5. Méthodes pratiques : - Former une matrice dont les colonnes sont les vecteurs. - Calculer le rang de cette matrice. - Si le rang est inférieur au nombre de vecteurs, ils sont linéairement dépendants. 6. Exemple : Soit $\mathbf{v}_1 = (1,2,3)$, $\mathbf{v}_2 = (2,4,6)$, $\mathbf{v}_3 = (0,1,1)$. - On forme la matrice $A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 6 & 1\end{pmatrix}$. - Le rang de $A$ est 2 (car $\mathbf{v}_2 = 2 \mathbf{v}_1$), donc les vecteurs sont linéairement dépendants. Ceci conclut la démarche complète pour vérifier la dépendance linéaire.