1. **Énoncé du problème :** Montrer que l'ensemble $F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid z + y - x = 0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ et déterminer une base de $F$. 2. **Définition et propriétés d'un sous-espace vectoriel :** Un sous-ensemble $F$ de $\mathbb{R}^3$ est un sous-espace vectoriel si : - Il contient le vecteur nul. - Il est stable par addition : si $u,v \in F$, alors $u+v \in F$. - Il est stable par multiplication scalaire : si $u \in F$ et $\lambda \in \mathbb{R}$, alors $\lambda u \in F$. 3. **Vérification pour $F$ :** - Le vecteur nul est $(0,0,0)$, et $0 + 0 - 0 = 0$, donc $\mathbf{0} \in F$. - Soient $u=(x_1,y_1,z_1)$ et $v=(x_2,y_2,z_2)$ dans $F$, donc $z_1 + y_1 - x_1 = 0$ et $z_2 + y_2 - x_2 = 0$. - Alors $u+v = (x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2)$ et $$ (z_1+z_2) + (y_1+y_2) - (x_1+x_2) = (z_1 + y_1 - x_1) + (z_2 + y_2 - x_2) = 0 + 0 = 0,$$ ce qui montre la stabilité par addition. - Pour $\lambda \in \mathbb{R}$, $\lambda u = (\lambda x_1, \lambda y_1, \lambda z_1)$ et $$ \lambda z_1 + \lambda y_1 - \lambda x_1 = \lambda (z_1 + y_1 - x_1) = \lambda \cdot 0 = 0,$$ ce qui montre la stabilité par multiplication scalaire. 4. **Conclusion :** $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$. 5. **Trouver une base de $F$ :** L'équation $z + y - x = 0$ s'écrit $x = y + z$. On peut paramétrer les vecteurs de $F$ par $y$ et $z$ : $$ (x,y,z) = (y+z, y, z) = y(1,1,0) + z(1,0,1).$$ Donc une base de $F$ est $\{u_1 = (1,1,0), u_2 = (1,0,1)\}$. --- 6. **Montrer que $F = \{x u_1 + y u_2 \mid (x,y) \in \mathbb{R}^2\}$ :** Par définition, tout vecteur de $F$ s'écrit comme combinaison linéaire de $u_1$ et $u_2$ comme ci-dessus, donc l'égalité est vraie. --- 7. **Montrer que $F$ est libre :** La famille $\{u_1, u_2\}$ est libre si $x u_1 + y u_2 = 0$ implique $x = y = 0$. Soit $x(1,1,0) + y(1,0,1) = (0,0,0)$, ce qui donne le système : $$ \begin{cases} x + y = 0 \\ x = 0 \\ y = 0 \end{cases}$$ De la deuxième équation $x=0$, substitué dans la première $0 + y=0$ donc $y=0$. Donc la famille est libre. --- 8. **Montrer que la famille $L = \{u_1, u_2\}$ est libre et compléter en une base $B = L \cup \{u_3\}$ de $\mathbb{R}^3$ :** On a déjà montré que $L$ est libre. Pour compléter en base de $\mathbb{R}^3$, il faut un vecteur $u_3$ qui n'appartient pas à $F$. Par exemple, $u_3 = (0,0,1)$ ne vérifie pas $z + y - x = 0$ car $1 + 0 - 0 = 1 \neq 0$. Donc $B = \{u_1, u_2, u_3\}$ est une base de $\mathbb{R}^3$. --- 9. **Montrer que $\mathbb{R}^3 = G \oplus H$ avec $G = \langle u_1, u_2 \rangle$ et $H = \langle u_3 \rangle$ :** - $G$ est le sous-espace vectoriel engendré par $u_1$ et $u_2$, donc $G = F$. - $H$ est la droite vectorielle engendrée par $u_3$. - Toute $v \in \mathbb{R}^3$ s'écrit de façon unique $v = g + h$ avec $g \in G$ et $h \in H$. - L'intersection $G \cap H = \{0\}$ car $u_3 \notin G$. Donc $\mathbb{R}^3 = G \oplus H$. --- **Résumé final :** - $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$. - Une base de $F$ est $\{(1,1,0), (1,0,1)\}$. - $F = \{x u_1 + y u_2 \mid (x,y) \in \mathbb{R}^2\}$. - $F$ est libre. - $L = \{u_1, u_2\}$ est libre. - $B = L \cup \{u_3\}$ avec $u_3 = (0,0,1)$ est une base de $\mathbb{R}^3$. - $\mathbb{R}^3 = G \oplus H$ avec $G = \langle u_1, u_2 \rangle$ et $H = \langle u_3 \rangle$.