1. Énoncé du problème : Soient $p$ et $n$ deux entiers naturels non nuls supérieurs ou égaux à 2, et $x=(x_1, x_2, \ldots, x_n)$, $y=(y_1, y_2, \ldots, y_n)$ deux éléments de $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n$. On cherche à étudier l'existence et l'unicité d'une application linéaire $f : (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n \to (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n$ telle que $f(x) = y$. 2. Rappel : Une application linéaire $f$ entre espaces vectoriels sur un corps est entièrement déterminée par l'image d'une base. Ici, $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ est un corps fini car $p$ est un nombre premier. 3. Existence : - Si $x = 0$, alors $f(x) = 0$ pour toute application linéaire, donc $f(x) = y$ n'a de solution que si $y=0$. - Si $x \neq 0$, on peut compléter $x$ en une base de $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n$. - On définit $f$ en envoyant $x$ sur $y$ et les autres vecteurs de la base sur des vecteurs arbitraires. - Ainsi, il existe au moins une application linéaire $f$ telle que $f(x) = y$. 4. Unicité : - L'application linéaire $f$ est unique si et seulement si $x$ engendre $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n$, c'est-à-dire si $x$ est une base (donc $n=1$). - Pour $n > 1$, il existe plusieurs applications linéaires différentes envoyant $x$ sur $y$ car on peut choisir librement l'image des autres vecteurs de la base. 5. Conclusion : - Si $x=0$ et $y \neq 0$, aucune application linéaire ne satisfait $f(x)=y$. - Si $x=0$ et $y=0$, toutes les applications linéaires conviennent. - Si $x \neq 0$, il existe au moins une application linéaire $f$ telle que $f(x)=y$. - Cette application est unique seulement si $n=1$ (cas trivial). En résumé, l'existence est garantie sauf si $x=0$ et $y \neq 0$, et l'unicité n'est assurée que dans le cas $n=1$.