1. Le théorème de Cauchy-Schwarz est une inégalité fondamentale en algèbre linéaire et analyse. 2. Énoncé : Pour tous vecteurs $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ dans un espace euclidien, on a $$|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| \leq \|\mathbf{u}\| \cdot \|\mathbf{v}\|$$ où $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle$ est le produit scalaire et $\|\mathbf{u}\|$, $\|\mathbf{v}\|$ sont les normes des vecteurs. 3. En termes simples, le module du produit scalaire est toujours inférieur ou égal au produit des normes. 4. Cela implique notamment que le cosinus de l'angle entre deux vecteurs est compris entre -1 et 1. 5. Pour une preuve, on considère la fonction $f(t) = \|\mathbf{u} - t\mathbf{v}\|^2 \geq 0$ pour tout $t \in \mathbb{R}$. 6. En développant et en imposant que le discriminant de $f(t)$ soit négatif ou nul, on obtient l'inégalité de Cauchy-Schwarz. 7. Ce théorème est une clé dans de nombreuses démonstrations et applications en mathématiques et physique.