1. **Énoncé du problème :** Trouver la forme quadratique $q$ associée à la forme bilinéaire symétrique $b$ définie sur $\mathbb{R}^3$ par $$b(x,y) = 2x_1y_1 + 2x_2y_2 + 2x_3y_3 - x_1y_2 - x_2y_1 - x_1y_3 - x_3y_1 - x_2y_3 - x_3y_2$$ 2. **Rappel de la définition :** La forme quadratique $q$ associée à $b$ est donnée par $$q(x) = b(x,x)$$ pour tout vecteur $x = (x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3$. 3. **Calcul de $q(x)$ :** Substituons $y = x$ dans l'expression de $b(x,y)$ : $$q(x) = b(x,x) = 2x_1x_1 + 2x_2x_2 + 2x_3x_3 - x_1x_2 - x_2x_1 - x_1x_3 - x_3x_1 - x_2x_3 - x_3x_2$$ 4. **Simplification :** Comme la multiplication est commutative dans $\mathbb{R}$, on a $x_1x_2 = x_2x_1$, etc. Donc : $$q(x) = 2x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_3^2 - 2x_1x_2 - 2x_1x_3 - 2x_2x_3$$ 5. **Forme finale :** La forme quadratique associée est donc $$\boxed{q(x) = 2x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_3^2 - 2x_1x_2 - 2x_1x_3 - 2x_2x_3}$$ Cette forme exprime la valeur de $q$ en fonction des composantes de $x$ dans $\mathbb{R}^3$.