1. Énonçons le problème : Le théorème de la base incomplète concerne la complétion d'une base incomplète d'un espace vectoriel en une base complète. 2. Formule et principe : Si $E$ est un espace vectoriel de dimension finie et $B_0$ une famille libre d'éléments de $E$, alors il existe une famille $B$ contenant $B_0$ qui est une base de $E$. 3. Rappel important : Une famille libre peut être complétée en une base en ajoutant des vecteurs jusqu'à obtenir une famille génératrice. 4. Exemple d'application : Supposons $E=\mathbb{R}^3$ et $B_0=\{(1,0,0)\}$. 5. Complétons $B_0$ en une base de $\mathbb{R}^3$ en ajoutant $(0,1,0)$ et $(0,0,1)$. 6. Ainsi, $B=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ est une base complète de $\mathbb{R}^3$ contenant $B_0$. 7. En résumé, le théorème garantit qu'une famille libre peut toujours être complétée en une base complète de l'espace vectoriel.