1. **Énoncé du problème :** Montrer que l'ensemble $F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y - x = 0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$, déterminer une base de $F$, vérifier si $u_1=(-1,2,-3)$ et $u_2=(1,-1,2)$ appartiennent à $F$, montrer que $F = \langle u_1, u_2 \rangle$, prouver que la famille $L=\{u_1,u_2\}$ est libre, compléter $L$ en une base $B$ de $\mathbb{R}^3$ en ajoutant un vecteur $u_3$, et enfin montrer que $\mathbb{R}^3 = G \oplus H$ avec $G=\langle u_1,u_2 \rangle$ et $H=\langle u_3 \rangle$. 2. **Définition et simplification de $F$ :** L'ensemble $F$ est défini par $x + y - x = 0$. Simplifions cette équation : $$x + y - x = y = 0$$ Donc $F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid y=0\}$. 3. **Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel :** - $F$ contient le vecteur nul $(0,0,0)$ car $0=0$. - Si $u=(x_1,0,z_1)$ et $v=(x_2,0,z_2)$ sont dans $F$, alors $u+v = (x_1+x_2,0,z_1+z_2)$ est aussi dans $F$ car la deuxième coordonnée est $0$. - Pour tout scalaire $\lambda$, $\lambda u = (\lambda x_1,0,\lambda z_1)$ est dans $F$. Donc $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$. 4. **Base de $F$ :** Les vecteurs de $F$ ont la forme $(x,0,z)$. Une base naturelle est donc : $$\{(1,0,0), (0,0,1)\}$$ 5. **Vérification que $u_1$ et $u_2$ sont dans $F$ :** - $u_1 = (-1,2,-3)$ a $y=2 \neq 0$, donc $u_1 \notin F$. - $u_2 = (1,-1,2)$ a $y=-1 \neq 0$, donc $u_2 \notin F$. 6. **Correction de la question 3 (montrer que $F = \langle u_1, u_2 \rangle$) :** Puisque $u_1$ et $u_2$ ne sont pas dans $F$, ils ne peuvent pas engendrer $F$. Il y a probablement une erreur dans l'énoncé ou une autre condition implicite. 7. **Montrer que la famille $L=\{u_1,u_2\}$ est libre :** Pour vérifier la liberté, on résout : $$\alpha u_1 + \beta u_2 = 0$$ $$\alpha(-1,2,-3) + \beta(1,-1,2) = (0,0,0)$$ Ce qui donne le système : $$\begin{cases} -\alpha + \beta = 0 \\ 2\alpha - \beta = 0 \\ -3\alpha + 2\beta = 0 \end{cases}$$ De la première équation : $\beta = \alpha$. Substituons dans la deuxième : $2\alpha - \alpha = \alpha = 0$ donc $\alpha=0$ et $\beta=0$. La famille est donc libre. 8. **Compléter $L$ en une base $B$ de $\mathbb{R}^3$ :** On cherche $u_3$ tel que $B = \{u_1, u_2, u_3\}$ soit une base. Choisissons un vecteur non dans $\mathrm{span}(u_1,u_2)$, par exemple : $$u_3 = (0,1,0)$$ 9. **Montrer que $\mathbb{R}^3 = G \oplus H$ avec $G=\langle u_1,u_2 \rangle$ et $H=\langle u_3 \rangle$ :** - $G$ et $H$ sont des sous-espaces vectoriels. - $G \cap H = \{0\}$ car $u_3$ n'est pas combinaison linéaire de $u_1$ et $u_2$. - Toute $v \in \mathbb{R}^3$ s'écrit de façon unique comme $v = g + h$ avec $g \in G$, $h \in H$. Donc $\mathbb{R}^3 = G \oplus H$. **Réponse finale :** - $F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid y=0\}$ est un sous-espace vectoriel. - Base de $F$ : $\{(1,0,0),(0,0,1)\}$. - $u_1$ et $u_2$ ne sont pas dans $F$. - $L=\{u_1,u_2\}$ est libre. - $B=\{u_1,u_2,u_3\}$ avec $u_3=(0,1,0)$ est une base de $\mathbb{R}^3$. - $\mathbb{R}^3 = G \oplus H$ avec $G=\langle u_1,u_2 \rangle$ et $H=\langle u_3 \rangle$.