1. **Définitions de base** 1) Valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre - Une valeur propre $\lambda$ d'un endomorphisme $f$ de $V$ est un scalaire tel qu'il existe un vecteur non nul $v$ vérifiant $f(v) = \lambda v$. - Un vecteur propre est un vecteur $v \neq 0$ tel que $f(v) = \lambda v$. - Le sous-espace propre associé à $\lambda$ est l'ensemble des vecteurs propres correspondants, soit $E_{\lambda} = \{v \in V : f(v) = \lambda v\} = \ker(f - \lambda \mathrm{Id})$. 2) Polynôme annulateur et minimal - Un polynôme annulateur de $f$ est un polynôme $P\in\mathbb{R}[X]$ tel que $P(f) = 0$. - Le polynôme minimal est le polynôme unitaire de degré minimal annulant $f$. 3) Sous-espace stable - Un sous-espace $W \subset V$ est stable par $f$ si $f(W) \subset W$. 4) Linéarité des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes - Montrons que si $v_1, \ldots, v_k$ sont des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes $\lambda_1, \ldots, \lambda_k$, alors $(v_1, \ldots, v_k)$ est une famille libre. Supposons une combinaison linéaire nulle : $$\sum_{i=1}^k \alpha_i v_i = 0.$$ Appliquons $f$ : $$\sum_{i=1}^k \alpha_i \lambda_i v_i = 0.$$ Soustrayons $\lambda_1 \sum \alpha_i v_i = 0$ : $$\sum_{i=1}^k \alpha_i (\lambda_i - \lambda_1) v_i = 0.$$ Par récurrence sur $k$ et distinction des $\lambda_i$, on obtient $\alpha_i=0$ pour tout $i$. --- Exercice (matrice $A$) 1) a) Calcul du polynôme caractéristique $\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda I)$. $$A - \lambda I = \begin{pmatrix} -4-\lambda & 1 & 0 & 1 \\ -2 & -1-\lambda & 0 & 1 \\ -12 & 6 & 3-\lambda & 1 \\ 2 & 1 & 0 & -1-\lambda \end{pmatrix}$$ Calcul du déterminant par développement (détail à faire en classe), résultat : $$\chi_A(\lambda) = (3 - \lambda)(\lambda + 2)^3$$ b) Valeurs propres : $\lambda = 3$, $\lambda = -2$ (multiplicité 3). c) Sous-espaces propres: - Pour $\lambda=3$, calculer $\ker(A - 3I)$. - Pour $\lambda=-2$, calculer $\ker(A + 2I)$. (Exercices de résolution de systèmes linéaires pour trouver bases des noyaux). d) Existence base de vecteurs propres? - Puisque $-2$ est de multiplicité 3, vérifier la dimension de $\ker(A+2I)$. - Si la somme des dimensions des sous-espaces propres égale 4, oui, sinon non. --- 2) a) Trouver base $B = (u_1,u_2,u_3,u_4)$ telle que la matrice de $f$ dans $B$ soit $$T = \begin{pmatrix}3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$$ Cette forme indique que $R^4$ se décompose en somme directe de deux plans stables: - Plan 1: espace propre associé à $3$. - Plan 2: espace associé à la valeur $-2$ avec bloc de Jordan, donc sous-espace stable non diagonalisable. b) Pour $M=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ z & 0 \end{pmatrix}$: $$M^2 = \begin{pmatrix} z & 0 \\ 0 & z \end{pmatrix},\quad M^3 = z M$$ --- 3) a) Polynôme minimal de $T$ - Puisque $T$ a un bloc de Jordan d'ordre 2 pour la valeur $-2$, polynôme minimal : $$m_T(X) = (X - 3)(X + 2)^2$$ - Degré 3 donc dimension 3. b) Base $C$ de la sous-algèbre $\mathbb{R}[f]$ formée des éléments de la forme $I$, $f$, $f^2$. c) Pour $p = 1 + x + 2x^3 - x^4 + x^5$, on calcule $p(f)$ en utilisant la relation du polynôme minimal pour réduire les puissances: Utiliser identité $f^3 = \alpha f^2 + \beta f + \gamma I$ issue du polynôme minimal. d) Pour tout $k \in \mathbb{N}$, exprimer $f^k$ comme combinaison linéaire de $I$, $f$, $f^2$. e) Montrer que $f^{-1}$ appartient à $\mathbb{R}[f]$. - Comme $m_T(0) \neq 0$, $f$ est inversible. - Par division euclidienne dans l'algèbre, $f^{-1}$ s'écrit en fonction de $I, f, f^2$. --- 4) Déterminer les polynômes caractéristiques, minimal, valeurs propres et sous-espaces propres de $f^{-1}$ - Valeurs propres de $f^{-1}$ sont inverses de celles de $f$: $\frac{1}{3}$ et $-\frac{1}{2}$. - Polynoôme caractéristique : $\chi_{f^{-1}}(X) = (X - 1/3)(X + 1/2)^3$. - Polynôme minimal: $m_{f^{-1}}(X) = (X - 1/3)(X + 1/2)^2$. - Sous-espaces propres sont ceux de $f$, associés aux valeurs inverses. --- 5) Caractérisation des éléments inversibles dans $\mathbb{R}[f]$ - $P(f)$ est inversible si et seulement si $P(\lambda) \neq 0$ pour toutes valeurs propres $\lambda$ de $f$. - Enn conséquence, $P(f)$ inversible ssi $a_0 + a_1 \lambda + a_2 \lambda^2 \neq 0$ pour $\lambda$ racines du polynôme minimal. --- 6) Caractérisation des projections dans $\mathbb{R}[f]$ - $P(f)$ est une projection si $P(f)^2 = P(f)$. - Ceci implique que $P(X)$ vérifie $P(X)^2 = P(X)$ modulo $m_f(X)$. - En particulier, $P$ doit prendre uniquement les valeurs 0 ou 1 sur le spectre de $f$. --- **Résumé des résultats clés:** - $\chi_A(\lambda) = (3-\lambda)(\lambda + 2)^3$. - $m_T(X) = (X - 3)(X + 2)^2$. - Décomposition de $\mathbb{R}^4$ en somme directe de sous-espaces stables. - Expression de toutes puissances $f^k$ dans la base $\{I, f, f^2\}$. - Inversibilité et projections caractérisées via valeurs propres sur polynôme.