### Exercice N°3 1. **Définir la forme polaire f de q** La forme polaire associée à une forme quadratique $q$ est définie par $$f(x,y) = \frac{1}{2}(q(x+y) - q(x) - q(y))$$ Cela permet d'obtenir une forme bilinéaire symétrique liée à $q$. 2. **Déterminer la matrice de f dans la base canonique** On écrit $q(x) = x^T M x$ où $M$ est la matrice symétrique associée à $f$. Donné : $$q(x) = x_1^2 + 2x_2^2 + 4x_1x_2 + 4x_1x_3 + 2x_2x_3$$ On identifie les coefficients de la forme quadratique à la matrice symétrique $M$ : - Les termes en $x_i^2$ sont sur la diagonale : $M_{11}=1$, $M_{22}=2$, $M_{33}=0$ (car pas de $x_3^2$). - Pour les termes croisés comme $4x_1x_2$, sachant que $q(x) = x^T M x = \sum_{i,j} M_{ij}x_ix_j$ avec $M$ symétrique, la contribution $4x_1x_2$ correspond à $2M_{12}x_1x_2$, donc $M_{12} = \frac{4}{2}=2$. - De même pour $4x_1x_3$, $M_{13} = 2$. - Pour $2x_2x_3$, $M_{23} = 1$. Ainsi, $$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ 3. **Décomposer q sous forme de carrés de formes linéaires indépendantes** On cherche à diagonaliser la forme quadratique en trouvant la matrice $P$ orthogonale telle que $P^T M P = D$ diagonal. On peut faire une réduction de la forme ou appliquer la méthode de la réduction de Gauss pour obtenir: Décomposez $q(x)$ en : $$q = (x_1 + 2x_2 + 2x_3)^2 - 2(x_2 + x_3)^2 + x_3^2$$ ou sous une autre base plus simple (exemple par la méthode de Cholesky ou diagonalisation). 4. **Donner sa signature** La signature correspond au nombre de valeurs propres strictement positives, négatives, et nulles de la matrice $M$. Calcul des valeurs propres de $M$: On calcule le polynôme caractéristique $ de(M - \\lambda I) = 0$. Ce calcul mène aux racines que l'on peut approximer ou calculer exact. Après calcul, on trouve: - 1 valeur propre positive, - 1 valeur propre nulle, - 1 valeur propre négative. Donc la signature est $(1,1,1)$ (un positif, un nul, un négatif). --- ### Exercice N°4 On considère $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ 1. **Déterminer le polynôme caractéristique de f** $$p(\lambda) = \det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 0 & 0 \\ -1 & 2 - \lambda &1 \\ 0 & 0 & 2 - \lambda \end{pmatrix}$$ Développement selon la première ligne : $$ = (1-\lambda) \times \det \begin{pmatrix} 2-\lambda &1 \\ 0 & 2-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)(2-\lambda)(2-\lambda) = (1-\lambda)(2-\lambda)^2$$ 2. **Déterminer les sous-espaces vectoriels propres** - Pour $\lambda=1$: Résoudre $(A - I)v=0$: $$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 0$$ Cela donne $z = 0$ et $-x + y + z = 0 \implies -x + y = 0 \implies y = x$. Ainsi, vecteurs propres associés: $v = (x, x, 0) = x(1,1,0)$. - Pour $\lambda=2$: Résoudre $(A - 2I)v=0$: $$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 0$$ Les équations sont: $-x=0 \Rightarrow x=0$ $-x + z = 0 \Rightarrow 0 + z=0 \Rightarrow z=0$ Pas de contrainte sur $y$. Donc les vecteurs propres sont $v = (0,y,0)$ avec $y$ libre. D'après la multiplicité 2, on vérifie que l'espace propre est de dimension 1, on a besoin d'un vecteur généralisé pour la diagonalisation. 3. **Déterminer le polynôme minimal** Le polynôme minimal partage les racines du polynôme caractéristique et annule $A$. - Puisque $\lambda=1$ a multiplicité 1, il y aura un facteur $(X - 1)$. - $\lambda=2$ a multiplicité 2 mais espace propre de dimension 1, donc le facteur $(X - 2)^2$ reste dans le polynôme minimal. Ainsi, $$ \mu_A(X) = (X - 1)(X - 2)^2 $$ --- **Résumé:** Exercice 3: forme polaire, matrice $M$, décomposition et signature. Exercice 4: polynôme caractéristique $(1-\lambda)(2-\lambda)^2$, espaces propres et polynôme minimal.