1. **Énoncé du problème** : Soit $n \geq 4$ et $u$ l'endomorphisme de l'espace vectoriel $E$ tel que pour tout polynôme $P \in E$, $$ u(P) = Q \quad \text{où} \quad Q(X) = P(0)L_1(X) + P(1)L_2(X) + P(2)L_3(X) $$ avec $L_1, L_2, L_3$ des polynômes donnés. Il faut déterminer: (a) le noyau $\ker(u)$ et l'image $\operatorname{Im}(u)$, puis vérifier s'ils sont supplémentaires. (b) les éléments propres de $u$ et une interprétation géométrique. 2. **Détermination de $\ker(u)$** : Par définition, $$ u(P) = 0 \iff P(0)L_1 + P(1)L_2 + P(2)L_3 = 0. $$ Comme $L_1, L_2, L_3$ sont vraisemblablement linéairement indépendants (ces sont typiquement les polynômes de Lagrange associés à trois points distincts), pour que $$ P(0)L_1 + P(1)L_2 + P(2)L_3 = 0, $$ il faut et il suffit que $$ P(0) = 0, \quad P(1)=0, \quad P(2) = 0. $$ Donc $$ \ker(u) = \{ P \in E : P(0)=P(1)=P(2)=0 \}. $$ 3. **Caractérisation de $\ker(u)$** : Un polynôme qui s'annule en $0,1,2$ est divisible par $(X)(X-1)(X-2)$, donc $$ \ker(u) = (X)(X-1)(X-2) \cdot \mathbb{R}_{n-3}[X] $$ (l'ensemble des polynômes de degré au plus $n$ divisibles par ces facteurs). 4. **Détermination de $\operatorname{Im}(u)$** : Par construction, $u(P)$ est une combinaison linéaire de $L_1,L_2,L_3$ pour $P \in E$. On a donc $$ \operatorname{Im}(u) = \operatorname{Span}\{L_1, L_2, L_3\}. $$ L'image est donc un sous-espace de dimension au plus 3. 5. **Sont-ils supplémentaires ?** La dimension totale de $E$ est $n+1$ (dimension des polynômes de degré au plus $n$). La dimension de $\ker(u)$ est $n+1 - 3 = n-2$ car on impose 3 conditions linéaires indépendantes (annulation en 3 points). La dimension de $\operatorname{Im}(u)$ est 3. Comme $$ \dim(\ker(u)) + \dim(\operatorname{Im}(u)) = (n-2) + 3 = n+1 = \dim(E), $$ ils sont donc supplémentaires et $$ E = \ker(u) \oplus \operatorname{Im}(u). $$ 6. **Calcul des éléments propres de $u$** : On cherche $\lambda \in \mathbb{R}$ et $P \neq 0$ tels que $$ u(P) = \lambda P. $$ En évaluant le polynôme en $0,1,2$: $$ u(P)(X) = P(0)L_1(X) + P(1)L_2(X) + P(2)L_3(X), $$ si on évalue en $x=0$, $$ u(P)(0) = P(0)L_1(0) + P(1)L_2(0) + P(2)L_3(0) = \lambda P(0). $$ Mais par définition des polynômes de Lagrange, $$ L_1(0) = 1, L_2(0) = 0, L_3(0) = 0, $$ ainsi $$ u(P)(0) = P(0) = \lambda P(0). $$ Donc soit $P(0) = 0$, soit $\lambda=1$. De même en $x=1$ et $x=2$ on obtient que $\lambda=1$ ou $P(1)=0$ et $\lambda=1$ ou $P(2)=0$. Récapitulatif : pour $\lambda \neq 1$, on doit avoir $$ P(0)=P(1)=P(2)=0 \implies P \in \ker(u), $$ Et pour $\lambda=1$, on peut avoir $P$ quelconque dans $\operatorname{Im}(u)$, car pour tout $Q \in \operatorname{Im}(u)$, $$ u(Q) = Q. $$ Donc les valeurs propres sont $$ \lambda = 0 \text{ (associée à $\ker(u)$) et } \lambda = 1 \text{ (associée à $\operatorname{Im}(u)$)}. $$ 7. **Interprétation géométrique** : L'endomorphisme $u$ est la projection sur l'espace engendré par $L_1, L_2, L_3$ parallèlement au noyau, c'est-à-dire les polynômes s'annulant en $0,1,2$. **Réponse finale :** - $\ker(u) = \{ P : P(0)=P(1)=P(2)=0 \} = (X)(X-1)(X-2) \cdot \mathbb{R}_{n-3}[X]$. - $\operatorname{Im}(u) = \operatorname{Span}\{L_1, L_2, L_3\}$. - $E = \ker(u) \oplus \operatorname{Im}(u)$ (sont supplémentaires). - Valeurs propres : $\sigma(u) = \{0,1\}$. - Vecteurs propres associés : - pour $\lambda=0$, $P$ s'annulant en 0,1,2, - pour $\lambda=1$, $P$ dans l'image. - Géométriquement, $u$ est la projection sur le sous-espace de dimension 3 défini par $L_1,L_2,L_3$ suivant le noyau.