1. **Déterminer k pour que U et V soient orthogonaux** Les vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul. $$U \cdot V = 3 \times 6 + 3k \times (-1) + (-4) \times 3 + 1 \times 7 + 5 \times 2k = 0$$ Calculons : $$18 - 3k - 12 + 7 + 10k = 0$$ Simplifions : $$18 - 12 + 7 + (-3k + 10k) = 0 \Rightarrow 13 + 7k = 0$$ Résolvons pour $k$ : $$7k = -13 \Rightarrow k = -\frac{13}{7}$$ 2. **Pourquoi ces expressions n'ont pas de sens** a) $U \cdot (V \cdot W)$ : $V \cdot W$ est un scalaire, on ne peut pas faire un produit scalaire entre un vecteur et un scalaire. b) $(U \cdot V) + W$ : $U \cdot V$ est un scalaire, $W$ un vecteur, on ne peut pas additionner un scalaire et un vecteur. c) $|U \cdot V|$ : Le produit scalaire est un scalaire, sa valeur absolue est un scalaire, donc cette expression a du sens. Donc ici, l'énoncé est incorrect, cette expression a un sens. d) $k \cdot (U + V)$ : $k$ est un scalaire, $U+V$ un vecteur, la multiplication scalaire est définie, donc cette expression a du sens. Donc l'énoncé est incorrect ici aussi. 3. **Trouver un vecteur orthogonal à U et V** Soit $U = [-1, -1, -1]$ et $V = [2, 0, 2]$. Un vecteur orthogonal à $U$ et $V$ est donné par le produit vectoriel : $$W = U \times V = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & -1 & -1 \\ 2 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$ Calculons : $$W = \mathbf{i}((-1)(2) - (-1)(0)) - \mathbf{j}((-1)(2) - (-1)(2)) + \mathbf{k}((-1)(0) - (-1)(2))$$ $$= \mathbf{i}(-2 - 0) - \mathbf{j}(-2 + 2) + \mathbf{k}(0 + 2) = -2\mathbf{i} - 0\mathbf{j} + 2\mathbf{k} = [-2, 0, 2]$$ 4. **Valeur de k pour que $W = [1, k, 5]$ soit combinaison linéaire de $U=[1,-3,4]$ et $V=[2,-1,1]$** On cherche $a,b$ tels que : $$aU + bV = W \Rightarrow a[1,-3,4] + b[2,-1,1] = [1,k,5]$$ Ce qui donne le système : $$a + 2b = 1$$ $$-3a - b = k$$ $$4a + b = 5$$ De la 2ème et 3ème équation : $$-3a - b = k$$ $$4a + b = 5$$ Additionnons : $$a = k + 5$$ Remplaçons dans la 1ère : $$(k + 5) + 2b = 1 \Rightarrow 2b = 1 - k - 5 = -4 - k \Rightarrow b = \frac{-4 - k}{2}$$ Vérifions la cohérence avec la 3ème équation : $$4(k + 5) + b = 5 \Rightarrow 4k + 20 + b = 5 \Rightarrow b = 5 - 4k - 20 = -15 - 4k$$ Égalisons les deux expressions de $b$ : $$\frac{-4 - k}{2} = -15 - 4k$$ Multiplions par 2 : $$-4 - k = -30 - 8k$$ $$-4 + 30 = -8k + k \Rightarrow 26 = -7k \Rightarrow k = -\frac{26}{7}$$ 5. **Vérifier si $X=[1,1,1]$ appartient à l'espace engendré par $U=[1,-10,7]$ et $V=[-3,2,0]$** On cherche $a,b$ tels que : $$a[1,-10,7] + b[-3,2,0] = [1,1,1]$$ Ce qui donne : $$a - 3b = 1$$ $$-10a + 2b = 1$$ $$7a + 0b = 1$$ De la 3ème équation : $$7a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{7}$$ Remplaçons dans la 1ère : $$\frac{1}{7} - 3b = 1 \Rightarrow -3b = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7} \Rightarrow b = -\frac{2}{7}$$ Vérifions dans la 2ème : $$-10 \times \frac{1}{7} + 2 \times \left(-\frac{2}{7}\right) = -\frac{10}{7} - \frac{4}{7} = -\frac{14}{7} = -2 \neq 1$$ Donc $X$ n'appartient pas à l'espace engendré par $U$ et $V$. 6. **Les vecteurs $U=[0,-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}]$, $V=[\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}]$, $W=[\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}}]$ forment-ils une base orthonormée?** - Vérifions la norme de chaque vecteur : $$\|U\| = \sqrt{0^2 + \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 1$$ $$\|V\| = \sqrt{3 \times \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{3 \times \frac{1}{3}} = 1$$ $$\|W\| = \sqrt{3 \times \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^2} = \sqrt{3 \times \frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{1}{2}} \neq 1$$ - $W$ n'a pas une norme égale à 1, donc ils ne forment pas une base orthonormée. 7. **Dénombrer les solutions de base du système** Système : $$\begin{cases} 3x_1 - 2x_2 + x_3 + x_4 = 5 \\ 2x_1 + x_2 - x_3 + x_5 = 2 \\ -x_1 - x_2 + x_3 + x_6 = 3 \end{cases}$$ Il y a 6 inconnues et 3 équations, donc le rang est au plus 3. Le nombre de solutions de base (dimension de l'espace des solutions) est : $$6 - \text{rang} = 6 - 3 = 3$$ 8. **Valeurs propres, vecteurs propres, théorème de Cayley-Hamilton, matrice semblable de** $$A = \begin{bmatrix}6 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$$ - Calcul du polynôme caractéristique : $$\det(A - \lambda I) = (6 - \lambda)(3 - \lambda) - 4 = \lambda^2 - 9\lambda + 14 = 0$$ - Résolvons : $$\lambda = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2} = \frac{9 \pm 5}{2}$$ Donc : $$\lambda_1 = 7, \quad \lambda_2 = 2$$ - Vecteurs propres associés : Pour $\lambda_1=7$ : $$(A - 7I)X = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix}-1 & 2 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}X=0$$ Solution : $X = t[2,1]$ Pour $\lambda_2=2$ : $$(A - 2I)X=0 \Rightarrow \begin{bmatrix}4 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}X=0$$ Solution : $X = t[-1,2]$ - Théorème de Cayley-Hamilton : $$A^2 - 9A + 14I = 0$$ - Matrice semblable diagonale : $$P = [2, -1; 1, 2], \quad D = \begin{bmatrix}7 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$$ 9. **Valeurs propres, vecteurs propres et diagonalisation de** $$B = \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$ - $B$ est une matrice de rang 1 avec toutes les lignes identiques. - Valeurs propres : $$\lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 0, \quad \lambda_3 = 0$$ - Vecteurs propres : Pour $\lambda_1=3$, vecteur propre est $[1,1,1]$. Pour $\lambda=0$, vecteurs propres sont dans le noyau, par exemple $[1,-1,0]$ et $[1,0,-1]$. - $B$ est diagonalisable car il a une base de vecteurs propres. 10. **La matrice** $$D = \begin{bmatrix}2 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ - Calcul des valeurs propres montre que $D$ n'est pas diagonalisable (multiplicité algébrique différente de la multiplicité géométrique). - On peut trigonaliser $D$ par une matrice $P$ telle que : $$P^{-1}DP = T$$ avec $T$ triangulaire supérieure. 11. **Formes quadratiques associées** a) Pour $$C = \begin{bmatrix}-2 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 3 \end{bmatrix}$$ La forme quadratique est : $$q_C(x) = x^T C x = -2x_1^2 + 2x_1x_2 - 4x_1x_3 + 0 + 2x_2x_3 + 3x_3^2$$ b) Pour $$E = \begin{bmatrix}-1 & 2 & -1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \end{bmatrix}$$ La forme quadratique est : $$q_E(x) = x^T E x = -x_1^2 + 6x_1x_2 - 2x_1x_3 + 2x_2^2 + 2x_2x_3 + 3x_3^2$$ 12. **Matrices associées aux formes quadratiques** a) Pour $$q_A(x) = x_1^2 - 2x_2^2 + x_3^2 - 2x_1x_3 + 5x_2x_3 + 4x_1x_2$$ La matrice symétrique associée est : $$A = \begin{bmatrix}1 & 2 & -1 \\ 2 & -2 & \frac{5}{2} \\ -1 & \frac{5}{2} & 1 \end{bmatrix}$$ b) Pour $$q_B(x) = x_1^2 - 2x_2^2 + x_3^2 - 2x_1x_3 + 3x_2x_1 + 2x_2x_3 + 4x_3x_2$$ On regroupe les termes symétriques : $$3x_2x_1 = 3x_1x_2, \quad 2x_2x_3 + 4x_3x_2 = 6x_2x_3$$ La matrice associée est : $$B = \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & -1 \\ \frac{3}{2} & -2 & 3 \\ -1 & 3 & 1 \end{bmatrix}$$