1. **Énoncé du problème** : - Exercice 4 : Montrer que la matrice $A \in M_n(\mathbb{R})$ définie par $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1-n \end{pmatrix}$$ n'est pas diagonalisable mais est trigonalisable, et trouver une forme trigonalisation de $A$. - Exercice 5 : Soient $A,B \in M_n(\mathbb{R})$ tels que $$AB - BA = A,$$ montrer des propriétés sur $A$ et $B$ (non demandé explicitement ici, donc on se concentre sur Exercice 4). 2. **Analyse de la matrice $A$** : - $A$ est une matrice $n \times n$ avec presque toutes les entrées égales à 1 sauf l'élément en bas à droite qui vaut $1-n$. - On peut écrire $A = J - nE_{nn}$ où $J$ est la matrice de tous les 1 et $E_{nn}$ la matrice avec 1 en position $(n,n)$ et 0 ailleurs. 3. **Calcul des valeurs propres de $A$** : - La matrice $J$ a pour valeurs propres $n$ (multiplicité 1) et $0$ (multiplicité $n-1$). - $A = J - nE_{nn}$ modifie la dernière colonne. - On cherche $\lambda$ tel que $\det(A - \lambda I) = 0$. 4. **Étude de la diagonalisabilité** : - $A$ a une valeur propre $\lambda = 0$ de multiplicité au moins $n-1$. - La présence de $1-n$ en bas à droite perturbe la diagonalisabilité. - En fait, $A$ est une matrice de rang $n-1$ avec un seul vecteur propre associé à $\lambda = 0$. - Donc $A$ n'est pas diagonalisable car la dimension de l'espace propre est strictement inférieure à la multiplicité algébrique. 5. **Trigonalisabilité** : - Toute matrice réelle est trigonalisable (théorème de Schur). - On peut trouver une base dans laquelle $A$ est triangulaire supérieure. - La forme trigonalisation de $A$ est une matrice triangulaire avec $\lambda = 0$ sur la diagonale sauf un élément modifié. 6. **Forme trigonalisation explicite** : - Par exemple, on peut écrire $$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & * & \cdots & * \\ 0 & 1 & \cdots & * \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1-n \end{pmatrix}$$ - Cette forme est triangulaire supérieure mais pas diagonale. 7. **Conclusion** : - $A$ n'est pas diagonalisable car la multiplicité géométrique d'une valeur propre est inférieure à sa multiplicité algébrique. - $A$ est trigonalisable car toute matrice réelle l'est. - La forme trigonalisation est une matrice triangulaire supérieure avec les valeurs propres sur la diagonale. **Réponse finale** : $$\boxed{\text{$A$ n'est pas diagonalisable mais est trigonalisable.}}$$