1. Énonçons le problème : Nous devons déterminer si les vecteurs \( \begin{bmatrix} e^{2t} \\ e^{t} \end{bmatrix} \) et \( \begin{bmatrix} e^{t} \\ e^{2t} \end{bmatrix} \) sont linéairement indépendants. 2. Rappel : Deux vecteurs \( \mathbf{u} \) et \( \mathbf{v} \) sont linéairement dépendants s'il existe un scalaire \( \lambda \) tel que \( \mathbf{u} = \lambda \mathbf{v} \). 3. Posons \( \mathbf{u} = \begin{bmatrix} e^{2t} \\ e^{t} \end{bmatrix} \) et \( \mathbf{v} = \begin{bmatrix} e^{t} \\ e^{2t} \end{bmatrix} \). 4. Cherchons \( \lambda \) tel que $$ \begin{bmatrix} e^{2t} \\ e^{t} \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} e^{t} \\ e^{2t} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda e^{t} \\ \lambda e^{2t} \end{bmatrix} $$ 5. Cela donne le système : $$ \begin{cases} e^{2t} = \lambda e^{t} \\ e^{t} = \lambda e^{2t} \end{cases} $$ 6. De la première équation, on a $$ \lambda = \frac{e^{2t}}{e^{t}} = e^{t} $$ 7. De la deuxième équation, on a $$ \lambda = \frac{e^{t}}{e^{2t}} = e^{-t} $$ 8. Pour que \( \lambda \) soit le même dans les deux cas, il faut que $$ e^{t} = e^{-t} $$ 9. Cela implique $$ e^{2t} = 1 \implies 2t = 0 \implies t = 0 $$ 10. Donc, les vecteurs sont proportionnels uniquement pour \( t=0 \). 11. Pour tout autre \( t \neq 0 \), ils ne sont pas proportionnels, donc linéairement indépendants. 12. Conclusion : Les vecteurs \( \begin{bmatrix} e^{2t} \\ e^{t} \end{bmatrix} \) et \( \begin{bmatrix} e^{t} \\ e^{2t} \end{bmatrix} \) sont linéairement indépendants sauf en \( t=0 \) où ils sont dépendants.