1. **Énoncé du problème :** Calculer les limites suivantes : A) $\lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 2n - 9}{x^2 + 2n - 15}$ B) $\lim_{x \to 0^-} \frac{\sqrt{x^2 - 2}}{x^2 - 4}$ C) $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{4x^2 - 2n + 3}{x^2 + 1}}$ D) $\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2 + n - 1 + x}$ 2. **Formules et règles importantes :** - Pour les limites à l'infini, on divise souvent numérateur et dénominateur par la plus grande puissance de $x$. - Pour les limites avec racines carrées, on peut utiliser la conjugaison ou simplifier en factorisant. - La continuité et la définition des fonctions sous la racine doivent être vérifiées. --- ### Exercice 1 **A)** 1. Calculer directement en remplaçant $x=3$ : $$\frac{3^3 - 2n - 9}{3^2 + 2n - 15} = \frac{27 - 2n - 9}{9 + 2n - 15} = \frac{18 - 2n}{-6 + 2n}$$ 2. Simplifier : $$\frac{18 - 2n}{-6 + 2n} = \frac{2(9 - n)}{2(n - 3)} = \frac{9 - n}{n - 3}$$ 3. Résultat final : $$\lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 2n - 9}{x^2 + 2n - 15} = \frac{9 - n}{n - 3}$$ **B)** 1. Pour $x \to 0^-$, vérifier le domaine de $\sqrt{x^2 - 2}$ : $$x^2 - 2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \geq 2$$ 2. Comme $x^2 < 2$ près de 0, la racine n'est pas définie dans $\mathbb{R}$, donc la limite n'existe pas dans $\mathbb{R}$. **C)** 1. Simplifier l'expression sous la racine : $$\sqrt{\frac{4x^2 - 2n + 3}{x^2 + 1}} = \sqrt{\frac{x^2(4 - \frac{2n - 3}{x^2})}{x^2(1 + \frac{1}{x^2})}} = \sqrt{\frac{4 - \frac{2n - 3}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}}}$$ 2. Quand $x \to +\infty$, $\frac{2n - 3}{x^2} \to 0$ et $\frac{1}{x^2} \to 0$, donc : $$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{4 - 0}{1 + 0}} = \sqrt{4} = 2$$ **D)** 1. Pour $x \to -\infty$, on étudie : $$\sqrt{x^2 + n - 1 + x} = \sqrt{x^2 + x + (n - 1)}$$ 2. Factoriser $x^2$ : $$= \sqrt{x^2 \left(1 + \frac{1}{x} + \frac{n - 1}{x^2}\right)} = |x| \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{n - 1}{x^2}}$$ 3. Comme $x \to -\infty$, $|x| = -x$, donc : $$= -x \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{n - 1}{x^2}}$$ 4. Quand $x \to -\infty$, $\frac{1}{x} \to 0$, $\frac{n - 1}{x^2} \to 0$, donc : $$\lim_{x \to -\infty} -x \cdot 1 = +\infty$$ --- ### Exercice 2 Soit $f$ définie par : $$f(x) = \begin{cases} \frac{3n - 3}{x \sqrt{x - 1}} & x > 1 \\ \sqrt{1 - x} + 2 & x \leq 1 \end{cases}$$ **1) Continuité en $x_0 = 1$ :** - Calculer $f(1)$ à gauche : $$f(1) = \sqrt{1 - 1} + 2 = 2$$ - Calculer la limite à droite : $$\lim_{x \to 1^+} \frac{3n - 3}{x \sqrt{x - 1}}$$ - Comme $\sqrt{x - 1} \to 0^+$, la limite diverge sauf si $3n - 3 = 0 \Rightarrow n = 1$. - Si $n=1$, alors limite à droite est 0, différente de $f(1) = 2$, donc $f$ n'est pas continue en 1. **2) Continuité sur $\mathbb{R}$ :** - $f$ est continue sur $]-\infty, 1]$ car composée de fonctions continues. - Sur $]1, +\infty[$, $f$ est continue sauf en $x=1$. - Donc $f$ est continue sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. **3) Restriction $g = f|_{]-\infty, 1]}$ :** **a) Variations de $g$ :** - $g(x) = \sqrt{1 - x} + 2$ sur $]-\infty, 1]$. - Dérivée : $$g'(x) = \frac{-1}{2\sqrt{1 - x}} < 0$$ - Donc $g$ est strictement décroissante sur $]-\infty, 1]$. **b) Existence de la fonction réciproque $g^{-1}$ :** - Comme $g$ est strictement monotone (décroissante), elle admet une bijection inverse sur son image $J = g(]-\infty, 1])$. - Calculer $J$ : $$\lim_{x \to -\infty} g(x) = +\infty, \quad g(1) = 2$$ - Donc $J = [2, +\infty[$. **c) Déterminer $g^{-1}(x)$ :** - Résoudre $y = \sqrt{1 - x} + 2$ pour $x$ : $$y - 2 = \sqrt{1 - x} \Rightarrow (y - 2)^2 = 1 - x \Rightarrow x = 1 - (y - 2)^2$$ - Donc : $$g^{-1}(y) = 1 - (y - 2)^2, \quad y \in [2, +\infty[$ **d) Calculer $g^{-1}([3;4])$ :** - Pour $y=3$ : $$g^{-1}(3) = 1 - (3 - 2)^2 = 1 - 1 = 0$$ - Pour $y=4$ : $$g^{-1}(4) = 1 - (4 - 2)^2 = 1 - 4 = -3$$ - Donc : $$g^{-1}([3;4]) = [-3; 0]$$ --- ### Exercice 3 Soit $h(x) = x^3 + \sqrt{x} - 1$ définie sur $]0, +\infty[$. **1) Domaine de définition $D_h$ et limite à l'infini :** - $D_h = ]0, +\infty[$ car $\sqrt{x}$ défini pour $x > 0$. - Limite : $$\lim_{x \to +\infty} h(x) = \lim_{x \to +\infty} (x^3 + \sqrt{x} - 1) = +\infty$$ **2) Dérivée et tableau de variation :** - Dérivée : $$h'(x) = 3x^2 + \frac{1}{2\sqrt{x}} > 0, \quad \forall x > 0$$ - $h'$ est strictement positive, donc $h$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$. **3) Existence d'une solution unique de $h(x) = 0$ :** - Étudier les signes : $$h(0^+) = 0 + 0 - 1 = -1 < 0$$ $$h(1) = 1 + 1 - 1 = 1 > 0$$ - Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $\alpha \in ]0,1[$ tel que $h(\alpha) = 0$. - Comme $h$ est strictement croissante, cette solution est unique. --- **Réponses finales :** - Ex1 A) $\frac{9 - n}{n - 3}$ - Ex1 B) Limite non définie dans $\mathbb{R}$ - Ex1 C) $2$ - Ex1 D) $+\infty$ - Ex2 1) $f$ n'est pas continue en $x=1$ - Ex2 2) $f$ continue sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ - Ex2 3a) $g$ décroissante sur $]-\infty, 1]$ - Ex2 3b) $g$ admet $g^{-1}$ sur $[2, +\infty[$ - Ex2 3c) $g^{-1}(y) = 1 - (y - 2)^2$ - Ex2 3d) $g^{-1}([3;4]) = [-3;0]$ - Ex3 1) $D_h = ]0, +\infty[$, $\lim_{x \to +\infty} h(x) = +\infty$ - Ex3 2) $h'(x) > 0$, $h$ strictement croissante - Ex3 3) $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha \in ]0,1[$