1. Énoncé du problème : Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction $f$ définie par $$ f(x) = \begin{cases} x - 1 + 2\sqrt{1 - x} & \text{si } x < 1 \\ \frac{x^3 - 1}{x^3 + 1} & \text{si } x \geq 1 \end{cases} $$ au point $x=1$. 2. Continuité en 1 : Calculons les limites à gauche et à droite, ainsi que la valeur de $f(1)$. - Limite à gauche : $$ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \left(x - 1 + 2 \sqrt{1 - x}\right). $$ Posons $h = 1 - x$ avec $h \to 0^+$. Alors $$ \lim_{h \to 0^+} (1 - h - 1 + 2 \sqrt{h}) = \lim_{h \to 0^+} (-h + 2 \sqrt{h}) = 0 + 0 = 0. $$ - Evaluation en 1 (valeur à droite incluse) : $$ f(1) = \frac{1^3 - 1}{1^3 + 1} = \frac{0}{2} = 0. $$ - Limite à droite : $$ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{x^3 - 1}{x^3 + 1} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = 0. $$ Comme les limites à gauche, à droite et la valeur de $f(1)$ sont égales, $f$ est continue en $x = 1$. 3. Dérivabilité en 1 : - Dérivée à gauche ($x < 1$) : $$ f(x) = x - 1 + 2\sqrt{1 - x} = x - 1 + 2(1 - x)^{1/2}. $$ Calculons $f'(x)$ pour $x < 1$ : $$ f'(x) = 1 + 2 \times \frac{1}{2}(1 - x)^{-1/2} (-1) = 1 - \frac{1}{\sqrt{1 - x}}. $$ Valeur de la dérivée à gauche en $x = 1$ : $$ \lim_{x \to 1^-} f'(x) = 1 - \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{\sqrt{1 - x}} = 1 - +\infty = -\infty. $$ Donc la dérivée à gauche n'existe pas (tend vers $-\infty$). - Dérivée à droite ($x > 1$) : $$ f(x) = \frac{x^3 - 1}{x^3 + 1}. $$ Utilisons la règle du quotient : $$ f'(x) = \frac{(3x^2)(x^3 + 1) - (x^3 - 1)(3x^2)}{(x^3 + 1)^2} = \frac{3x^2(x^3 + 1 - x^3 + 1)}{(x^3 + 1)^2} = \frac{3x^2 \times 2}{(x^3 + 1)^2} = \frac{6x^2}{(x^3 + 1)^2}. $$ Valeur de la dérivée à droite en $x = 1$ : $$ f'(1) = \frac{6 \times 1^2}{(1 + 1)^2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}. $$ 4. Interprétation graphique : - La fonction $f$ est continue en $x = 1$, mais la dérivée à gauche tend vers $-\infty$, ce qui signifie une pente très forte vers le bas à gauche. - La dérivée à droite est finie et égale à $\frac{3}{2}$. - Il y a donc un point anguleux (cusp) en $x=1$ où la fonction est continue mais pas dérivable. Réponse finale : \begin{itemize} \item $f$ est continue en 1. \item Pas dérivable en 1 car $f'(1^-)$ n'existe pas (tend vers $-\infty$), mais $f'(1^+)=\frac{3}{2}$ existe. \item Graphiquement, $f$ présente un point anguleux en $x=1$. \end{itemize}