1. Énoncé du problème : Étudier le domaine de définition, la continuité et déterminer certaines valeurs des fonctions f et g définies par morceaux. A. 1) Déterminer le domaine de définition $Df$ de $f$ définie par $$f(x) = \sqrt{5 + 4x^3 + 2x + 1} \quad \text{si } x \neq -1,$$ $$f(-1) = m,$$ - L'expression sous la racine doit être positive ou nulle : $$5 + 4x^3 + 2x + 1 \geq 0.$$ - On considère $5 + 4x^3 + 2x + 1 = 4x^3 + 2x + 6$. - Étudier le signe de ce polynôme du 3e degré. Cela nécessite soit de chercher racines réelles, soit d'analyser sa courbe. - Comme $f(-1) = m$ est défini, la définition exclut $x=-1$ sauf que $f(-1)$ est donné. Ainsi, le domaine $Df = \{x \in \mathbb{R} \mid 5 + 4x^3 + 2x + 1 \geq 0\} \cup \{-1\}.$ 2) Déterminer $m$ pour que $f$ soit continue en $-1$ : - Continuité en $x=-1$ implique $$\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1) = m.$$ - Calculons la limite: $$\lim_{x \to -1} \sqrt{5 + 4x^3 + 2x + 1} = \sqrt{5 + 4(-1)^3 + 2(-1) + 1} = \sqrt{5 - 4 - 2 + 1} = \sqrt{0} = 0.$$ - Donc $m=0$ pour continuité. 3) Étudier continuité de $$g(x) = (x + 1)^2 f(x)$$ - $g$ est définie partout où $f$ l'est. - En $x=-1$, $(x+1)^2 = 0$, donc même si $f$ n'est pas définie en -1, $g(-1) = 0$. - Calculons $$\lim_{x \to -1} g(x) = \lim_{x \to -1} (x+1)^2 \sqrt{5 + 4x^3 + 2x + 1}.$$ - Comme $(x+1)^2$ tend vers 0 et la racine tend vers 0, la limite est 0. - On peut définir $g(-1) = 0$ pour que $g$ soit continue en $-1$. B. 1) Domaine de définition de $$g(x) = \begin{cases} x + a + \sqrt{x^2 + x + 1}, & x \leq 0 \\ x E(x), & 0 < x \leq 2 \\ \dfrac{2x - x^2}{x^2 - 4}, & x > 2 \end{cases}$$ - La racine carrée est définie pour tout $x$ car le discriminant $x^2 + x +1$ est toujours positif (pas de racines réelles). - $x E(x)$ doit être définie sur $]0,2]$; présumons $E$ définie sur cet intervalle. - Pour $x>2$, le dénominateur $x^2 -4 = (x-2)(x+2)$ ne doit pas être nul, pas de problème puisque $x>2$ exclut $x=2$. - Donc $$D_g = ]-\infty, 0] \cup ]0,2] \cup ]2, +\infty[ = \mathbb{R} \setminus \{2\}.$$ 2) Calcul des limites $$\lim_{x \to 2^-} g(x) = \lim_{x \to 2^-} x E(x) = 2 E(2),$$ $$\lim_{x \to 2^+} g(x) = \lim_{x \to 2^+} \dfrac{2x - x^2}{x^2 - 4} = \lim_{x \to 2^+} \dfrac{2x - x^2}{(x-2)(x+2)}.$$ - Le dénominateur tend vers $0^+$ alors que le numérateur tend vers $2(2) - 2^2 = 4 -4 = 0$; forme indéterminée. - Factoriser le numérateur : $2x - x^2 = x(2 - x) = -x(x - 2)$. - Alors $$g(x) = \dfrac{-x(x - 2)}{(x - 2)(x+2)} = \dfrac{-x}{x+2}, x \neq 2.$$ - En $x \to 2^+$, $$\lim = \dfrac{-2}{2+2} = -\dfrac{2}{4} = -\dfrac{1}{2}.$$ 3) Déterminer $a$ pour que $f$ soit continue en 0 (modalité impliquée probablement sur $g$) - $g$ à gauche de 0: $g(0) = 0 + a + \sqrt{0 + 0 +1} = a + 1.$ - $g$ à droite de 0 (limite $x \to 0^+$ ) = $ $\lim_{x \to 0^+} x E(x)$, valeur dépend de $E(0)$. - Pour continuité, $$a + 1 = 0 \implies a = -1.$$ 4) Avec $a = -1, b = 1$ (vraisemblablement sur fonction f définie aussi par morceaux) - Intervalles de continuité de $g$ sont tous sauf en points de discontinuités, ici en $x=2$. - $g$ est continue sur $]-\infty, 0]$, continu sur $]0, 2]$, mais discontinue en $2$ car limite gauche $2 E(2)$ différent de limite droite $-\frac{1}{2}$ Réponse finale : - Domaine de $f$ est $Df = \{x \in \mathbb{R} \mid 5 + 4x^3 + 2x +1 \geq 0\} \cup \{-1\}$. - $m=0$ pour continuité en $-1$. - $g(x) = (x+1)^2 f(x)$ continue en $-1$ avec $g(-1)=0$. - Domaine de $g$ est $\mathbb{R} \setminus \{2\}$. - Limites en 2 sont $\lim_{2^-} g = 2 E(2)$, $\lim_{2^+} g = -\frac{1}{2}$. - $a = -1$ pour continuité en 0. - $g$ est continue sur $]-\infty, 2[$ et $]2, +\infty[$ mais pas en 2.