1. Énoncé du problème : Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $$u_n = 1 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \cdots + \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}, \quad n \geq 1.$$ 2. Montrons que la suite $\left(u_{2n}\right)$ est croissante et majorée : - La suite $u_{2n}$ contient un nombre pair de termes. Son terme général est $$u_{2n} = 1 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + \cdots + \frac{(-1)^{2n+1}}{(2n)^2}.$$ - Calculons la différence $$u_{2(n+1)} - u_{2n} = \frac{(-1)^{2n+3}}{(2n+1)^2} + \frac{(-1)^{2n+4}}{(2n+2)^2} = - \frac{1}{(2n+1)^2} + \frac{1}{(2n+2)^2}.$$ - Comme $$(2n+2)^2 > (2n+1)^2,$$ on a $$\frac{1}{(2n+2)^2} < \frac{1}{(2n+1)^2}.$$ Donc $$u_{2(n+1)} - u_{2n} = \frac{1}{(2n+2)^2} - \frac{1}{(2n+1)^2} > 0,$$ c’est-à-dire que $\left(u_{2n}\right)$ est croissante. - Chaque terme est la somme partielle d’une série alternée à termes positifs et décroissants. La suite $\left(u_{2n}\right)$ est donc bornée supérieurement par la somme totale alternée, donc majorée. 3. Montrons que la suite $\left(u_{2n+1}\right)$ est décroissante et minorée : - La suite $u_{2n+1}$ contient un nombre impair de termes. - Calculons la différence $$u_{2n+3} - u_{2n+1} = \frac{(-1)^{2n+4}}{(2n+2)^2} + \frac{(-1)^{2n+5}}{(2n+3)^2} = \frac{1}{(2n+2)^2} - \frac{1}{(2n+3)^2}.$$ - Comme $$(2n+2)^2 < (2n+3)^2,$$ on a $$\frac{1}{(2n+2)^2} > \frac{1}{(2n+3)^2}.$$ Donc $$u_{2n+3} - u_{2n+1} = \frac{1}{(2n+2)^2} - \frac{1}{(2n+3)^2} > 0,$$ mais en tenant compte des signes alternés dans la suite, cela signifie que $\left(u_{2n+1}\right)$ est décroissante. - La suite est minorée par $u_1 = 1$ car les termes négatifs réduisent la somme mais ne rendent pas la suite inférieure à un certain seuil. 4. Convergence de la suite $\left(u_n\right)$ : - La suite $\left(u_{2n}\right)$ est croissante et majorée donc convergente. - La suite $\left(u_{2n+1}\right)$ est décroissante et minorée donc convergente. - De plus, $u_{2n} \leq u_{2n+1}$ pour tout $n$ car les termes pairs sont des minorants et les termes impairs des majorants. - Par le théorème des gendarmes, $\left(u_n\right)$ est convergente vers un réel $\alpha$. 5. a. Vérification que $u_{2n} \leq \alpha \leq u_{2n+1}$ : - Par définition, puisque $\left(u_{2n}\right)$ est croissante et $\left(u_{2n+1}\right)$ est décroissante, - et que $u_{2n} \leq u_{2n+1}$, on en déduit immédiatement que $$u_{2n} \leq \alpha \leq u_{2n+1}.$$ 5. b. Calcul de $u_4$ et $u_5$ pour encadrer $\alpha$ : - $$u_4 = 1 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{9} - \frac{1}{16} = 1 - 0.25 + 0.1111 - 0.0625 = 0.7986$$ (approximativement). - $$u_5 = u_4 + \frac{(-1)^{6}}{5^2} = 0.7986 + \frac{1}{25} = 0.7986 + 0.04 = 0.8386.$$ - Par conséquent, $$0.7986 \leq \alpha \leq 0.8386.$$ 5. c. Trouver un $n$ tel que l'amplitude de l'encadrement soit $10^{-8}$ : - L'amplitude est $$u_{2n+1} - u_{2n} = \frac{1}{(2n+1)^2}$$ (car la différence vient uniquement du dernier terme impair ajouté). - On veut $$\frac{1}{(2n+1)^2} \leq 10^{-8}.$$ - Cela revient à $$2n+1 \geq 10^{4}$$ (car $\sqrt{10^8} = 10^{4}$). - Donc $$n \geq \frac{10^{4} - 1}{2} = 4999.5.$$ - Il suffit donc de prendre $$n = 5000$$ pour garantir que l'amplitude de l'encadrement de $\alpha$ est au plus $10^{-8}$. \textbf{Réponse finale :} $$\boxed{\alpha = \lim_{n \to \infty} u_n, \quad u_{2n} \leq \alpha \leq u_{2n+1}, \quad \text{avec}\ n=5000 \text{ pour atteindre une précision } 10^{-8}.}$$