1. Problème a) : minimiser $f(x) = x^4 - x + 1$ sous contrainte $|x| \leq 1$.\n- L'ensemble $\{x : |x| \leq 1\}$ est fermé et borné (compact).\n- $f$ est continue.\n- Par le théorème de Weierstrass, $f$ atteint son minimum sur cet ensemble.\n\n2. Problème b) : minimiser $f(x) = x^4 - x + 1$ sur $x \in \mathbb{R}$.\n- Étudions le comportement de $f$ en $\pm\infty$. Comme $x^4$ domine, $f(x) \to +\infty$ quand $|x| \to \infty$.\n- Trouvons les points critiques : $f'(x) = 4x^3 -1$.\n- Résoudre $4x^3 = 1 \implies x = \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$.\n- $f$ a un minimum global (car croissance vers $+\infty$ aux extrémités). Donc une solution existe.\n\n3. Problème c) : minimiser $g(x) = x e^x$ sur $x \in \mathbb{R}$.\n- $g'(x) = e^x + x e^x = e^x (1 + x)$.\n- Posons $g'(x)=0 \Rightarrow x = -1$.\n- $g''(x) = e^x (2 + x)$. En $x=-1$, $g''(-1) = e^{-1} > 0$ donc minimum local.\n- Vérifions limites : $\lim_{x \to -\infty} g(x) = 0$, $\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$.\n- Le minimum existe en $x=-1$.\n\n4. Problème d) : minimiser $h(x) = \cos(1/x)$ pour $0 < x \leq 1$.\n- $\cos(1/x)$ oscille infiniment près de $0^+$.\n- Pas de minimum atteint car pas de limite minimale fixée (oscillations).\n- Pas de solution.\n\n5. Problème e) : minimiser $k(x,y) = x^2 - xy$ sur $|x| \leq 1$, $|y| \leq 1$.\n- L'ensemble de contrainte est compact.\n- $k$ est continue, minimum atteint.\n- Trouvons minimum exact : pour $x,y$ fixés, $k$ est quadratique.\n\n6. Problème f) : même que b), solution existe.\n\n7. Problème g) : minimiser $m(x,y) = x e^x + y^2$ pour $x^2 + y^2 \leq 1$.\n- Domaine compact, fonction continue, minimum atteint.\n\n8. Problème h) : minimiser $n(x,y)= x^2 - y^2$ sur $\mathbb{R}^2$.\n- $n$ non bornée inférieurement (ex. choisir $y \to \infty$, $x=0$, $n \to -\infty$).\n- Pas de minimum.\n\n\nRésumé des solutions :\na) solution existe\nb) solution existe\nc) solution existe\nd) pas de solution\ne) solution existe\nf) solution existe\ng) solution existe\nh) pas de solution