**Problème 8 - Partie A et B** **PARTIE A : Étude de la fonction $g(x) = x - 2 - (x - 3)\ln(x - 3)$ définie sur $]3; +\infty[$** 1. **Calcul des limites de $g$ en 3 et en $+\infty$ :** - Limite en 3 : $$\lim_{x \to 3^+} g(x) = \lim_{x \to 3^+} \big( x-2 - (x-3)\ln(x-3) \big).$$ Posons $t = x - 3$, alors $t \to 0^+$, $$g(x) = 3 - 2 + t - t \ln t = 1 + t - t \ln t.$$ Or $\lim_{t \to 0^+} t \ln t = 0$, donc $$\lim_{x \to 3^+} g(x) = 1 + 0 - 0 = 1.$$ - Limite en $+\infty$ : $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(x - 2 - (x-3) \ln(x-3)\right).$$ Comme $\ln(x-3)$ croît moins vite que $x$, mais multiplié par $x$, on analyse le terme dominant : $$ (x-3)\ln(x-3) \sim x \ln x,$$ donc $g(x) \sim x - x \ln x = x(1 - \ln x)$ qui tend vers $-\infty$ car $\ln x \to +\infty$. Donc $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty.$$ 2. **Étude du sens de variation de $g$ :** - Calcul de la dérivée : $$g'(x) = 1 - \frac{d}{dx} \big((x-3)\ln(x-3)\big).$$ Or, $$\frac{d}{dx} \big((x-3)\ln(x-3)\big) = \ln(x-3) + \frac{x-3}{x-3} = \ln(x-3) + 1.$$ Donc, $$g'(x) = 1 - (\ln(x-3) + 1) = - \ln(x-3).$$ - Donc, - $g'(x) = 0$ si et seulement si $\ln(x-3) = 0 \iff x-3=1 \iff x=4$. - Pour $x > 3$, la fonction $\ln(x-3)$ est strictement croissante, donc : - pour $3 < x < 4$, $\ln(x-3) < 0 \implies g'(x) > 0$ (croissante). - pour $x > 4$, $\ln(x-3) > 0 \implies g'(x) < 0$ (décroissante). 3. **Tableau de variation de $g$ :** $$\begin{array}{c|ccc} x & 3^+ & 4 & +\infty \\ \hline g'(x) & + & 0 & - \\ g(x) & 1 & \text{max} & -\infty \end{array}$$ 4. **Existence et unicité de la solution $\alpha$ de $g(x) = 0$ avec $6 < \alpha < 7$ :** - On note que $g(3^+) = 1 > 0$. - Comme $g$ est croissante sur $]3,4[$ puis décroissante sur $]4,+\infty[$, donc $g$ atteint un maximum en $x=4$. - Calculons $g(4)$ : $$g(4) = 4 - 2 - (4-3)\ln(4-3) = 2 - 1 \times 0 = 2 > 0.$$ - On teste les valeurs approximatives : $$g(6) = 6 - 2 - (6-3)\ln(6-3) = 4 - 3 \ln 3 \approx 4 - 3 \times 1.0986 = 4 - 3.2958 = 0.7042 > 0,$$ $$g(7) = 7 - 2 - 4 \ln 4 = 5 - 4 \times 1.3863 = 5 - 5.5452 = -0.5452 < 0.$$ - Donc $g$ s'annule au moins une fois dans $]6,7[$. - Par le théorème des valeurs intermédiaires et la décroissance de $g$ pour $x > 4$, cette solution est unique. 5. **Signe de $g$ sur $]3; +\infty[$ :** - Pour $3 < x < \alpha$, $g(x) > 0$. - Pour $x = \alpha$, $g(\alpha) = 0$. - Pour $x > \alpha$, $g(x) < 0$. **PARTIE B : Étude de la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2 - 3x - 4$ pour $x \leq 4$ et $f(x) = \frac{2 \ln(x-3)}{x - 2}$ pour $x > 4$** 1. **Limites en $+\infty$ :** - $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{2 \ln(x-3)}{x - 2}.$$ - Comme $\ln(x-3)$ croît lentement comparé à $x$, on a : $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x-3)}{x - 2} = 0,$$ donc $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0.$$ - Interprétation : la fonction tend vers 0 à l'infini pour $x > 4$. 2. **Limites en $-\infty$ de $f(x)$ et $\frac{f(x)}{x}$ :** - Pour $x \to -\infty$, on considère la partie polynomiale : $$f(x) = x^2 - 3x -4,$$ donc $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty.$$ - Et $$\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 3x - 4}{x} = \lim_{x \to -\infty} (x - 3 - \frac{4}{x}) = -\infty.$$ - Interprétation : $f$ devient très grand (positif) à gauche et $f(x)/x$ tend vers $-\infty$ ce qui traduit que $f$ est dominée par $x^2$ pour grandes valeurs négatives. 3. **Continuité de $f$ en 4 :** - Calcul des limites à gauche et à droite : - À gauche : $$f(4) = 4^2 - 3 \times 4 - 4 = 16 - 12 - 4 = 0.$$ - À droite : $$\lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4^+} \frac{2 \ln(x-3)}{x-2} = \frac{2 \ln(1)}{2} = 0.$$ - Les limites sont égales et égales à la valeur à gauche donc $f$ est continue en 4. 4. **Dérivabilité de $f$ en 4 :** - Dérivée à gauche : $$f'_-(4) = \frac{d}{dx}(x^2 - 3x -4)_{| x=4} = 2\times4 - 3 = 8 - 3 = 5.$$ - Dérivée à droite : $$f'_+(4) = \left(\frac{2 \ln(x-3)}{x - 2}\right)'_{| x=4} = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(4+h) - f(4)}{h}.$$ Calcul exact : - Posons $f(x) = \frac{2 \ln(x-3)}{x - 2}$. - Dérivée obtenue par quotient : $$f'(x) = \frac{2 \cdot \frac{1}{x-3} (x-2) - 2 \ln(x-3)}{(x-2)^2} = \frac{2 \frac{x-2}{x-3} - 2\ln(x-3)}{(x-2)^2}.$$ En $x=4$ : $$f'_+(4) = \frac{2 \frac{2}{1} - 2 \times 0}{2^2} = \frac{4}{4} = 1.$$ - Comme $f'_-(4) = 5 \neq 1 = f'_+(4)$, $f$ n'est pas dérivable en 4. - Graphiquement, cela signifie un angle pointu (pas de tangente unique) à $x=4$. 5. **Variations de $f$ :** - Pour $x \leq 4$, $f$ est un polynôme de degré 2 avec dérivée $$f'(x) = 2x - 3.$$ Le zéro est en $x = 1.5$. - Sur $]-\infty,1.5[$, $f' < 0$ donc décroissante. - Sur $]1.5,4]$, $f' > 0$ donc croissante. - Pour $x > 4$, la dérivée est complexe mais on observe qu'elle change de signe autour de 4 puisqu'elle n'est pas dérivable et tend vers 0 à l'infini. 6. **Résolution sur $]-\infty,4]$ de $f(x) = 4$ :** - Pour $x \leq 4$, équation : $$x^2 - 3x -4 = 4 \iff x^2 - 3x - 8 = 0.$$ - Résolvons : $$\Delta = (-3)^2 - 4 \times 1 \times (-8) = 9 + 32 = 41.$$ - Solutions : $$x = \frac{3 \pm \sqrt{41}}{2}.$$ - Valeurs approchées : $$x_1 = \frac{3 - 6.403}{2} = -1.7015, \quad x_2 = \frac{3 + 6.403}{2} = 4.7015.$$ - Comme $x_2 > 4$ hors domaine, seule $x_1 \approx -1.7$ est solution sur $]-\infty, 4]$. 7. **Expression de $f(\alpha)$ en fonction de $\alpha$ :** - Comme $6 < \alpha < 7$ et $\alpha > 4$, on utilise la définition : $$f(\alpha) = \frac{2 \ln(\alpha - 3)}{\alpha - 2}.$$ - Plus précisément, en utilisant $g(\alpha)=0$ et la définition de $g$, on a $$g(\alpha) = \alpha - 2 - (\alpha - 3) \ln(\alpha - 3) = 0 \Rightarrow (\alpha - 3) \ln(\alpha - 3) = \alpha - 2.$$ - Donc $$f(\alpha) = \frac{2 \ln(\alpha - 3)}{\alpha - 2} = \frac{2 \ln(\alpha - 3)}{(\alpha - 3) \ln(\alpha - 3)} = \frac{2}{\alpha - 3}.$$ 8. **Tracé de la courbe $(C)$ et de ses asymptotes :** - Asymptote verticale à $x=3$ car $ln(x-3)$  est défini pour $x > 3$. - Asymptote horizontale en $y=0$ pour $x \to +\infty$. - À gauche, parabole classique. - Le point $\alpha = 6.5$ avec $f(\alpha) = 0.56$ est sur la branche droite. 9. **Calcul de l'aire entre la courbe $(C)$, les droites $x = -1$, $x=0$ et l'axe $y=0$:** - Pour $x \in [-1,0]$, on est dans la partie polynomiale $f(x) = x^2 - 3x - 4$. - L'aire encadrée est : $$A = \int_{-1}^0 |f(x)| dx.$$ - Calculons les valeurs: $$f(-1) = (-1)^2 - 3(-1) - 4 = 1 + 3 - 4 = 0,$$ $$f(0) = 0 - 0 - 4 = -4.$$ - La fonction est négative en 0 et nulle en -1 donc l'aire est $$A = -\int_{-1}^0 f(x) dx = - \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} - 4x \right]_{-1}^0 = - \left(0 - \left(\frac{-1}{3} - \frac{3}{2} +4 \right) \right).$$ - Simplifions : $$\frac{-1}{3} - \frac{3}{2} + 4 = -\frac{1}{3} - 1.5 + 4 = 2.1667,$$ - Donc $$A = - (0 - 2.1667) = 2.1667.$$ **Réponses finales :** - Partie A : $\lim_{3^+} g = 1$, $\lim_{+\infty} g = -\infty$. - Fonction $g$ croissante puis décroissante, solution unique $\alpha$ dans $]6,7[$. - Signe : $g > 0$ sur $]3, \alpha[$, $g=0$ en $\alpha$, $g<0$ sur $]\alpha,+\infty[$. - Partie B : - $\lim_{+\infty} f = 0$, $\lim_{-\infty} f = +\infty$, $\lim_{-\infty} f/x = -\infty$. - $f$ continue en 4, mais non dérivable en 4. - Variations du polynôme sur $]-\infty, 4]$ et comportement étudié à droite. - Solution de $f(x) = 4$ sur $]-\infty,4]$ est $x \approx -1.7$. - $f(\alpha) = \frac{2}{\alpha - 3}$. - Aire entre $x=-1,0$, $y=0$ et la courbe est approximativement 2.17.