1. Énonçons le problème. Soit la fonction définie par: $$f(x) = \frac{\sqrt{5 + 4x^3 + 2x + 1}}{x + x^2} \quad \text{si } x \neq -1,$$ $$f(-1) = m, \quad m \in \mathbb{R}$$ On étudie la fonction $f$ sur différents points et sa continuité. A.1) Déterminons l'ensemble de définition $D_f$. - Le dénominateur $x + x^2 = x(1+x)$ ne doit pas être nul: donc $x \neq 0$ et $x \neq -1$. - Le radicande de la racine carrée doit être positif ou nul: $$5 + 4x^3 + 2x + 1 \geq 0.$$ Pour simplifier, on étudie cette inégalité plus tard si nécessaire. Cependant, le problème signale que $f$ est définie partout sauf en $x=-1$, avec $f(-1) = m$ donné. Donc, $$D_f = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq -1, x \neq 0 \text{ et } 5 + 4x^3 + 2x + 1 \geq 0 \}.$$ A.2) Étudions $m$ pour que $f$ soit continue en $x = -1$. - Calculons la limite à gauche et à droite en $x \to -1$: On note la limite $$\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{5 + 4x^3 + 2x + 1}}{x + x^2}.$$ - Dénominateur : $$x + x^2 = x(1+x); \quad \text{en } x = -1, -1 \times (1-1) = 0,$$ le dénominateur tend vers 0. - Numérateur : $$5 + 4(-1)^3 + 2(-1) + 1 = 5 -4 - 2 + 1 = 0,$$ donc numérateur aussi tend vers 0. On peut donc appliquer une règle de l'Hôpital ou factoriser pour évaluer la limite. Posons $$h(x) = 5 + 4x^3 + 2x + 1,$$ dérivons $h$: $$h'(x) = 12x^2 + 2.$$ Le dénominateur est $$g(x) = x + x^2 = x(1+x),$$ avec $$g'(x) = 1 + 2x.$$ Calcul de la limite par la règle de l'Hôpital: $$\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{h(x)}}{g(x)} = \lim_{x \to -1} \frac{\frac{1}{2\sqrt{h(x)}}h'(x)}{g'(x)} = \frac{\frac{1}{2 \times 0} h'(-1)}{g'(-1)}.$$ On a un $0$ dans le dénominateur, donc cette forme n'est pas déterminée directement; considérons la limite du carré de $f$ ou reformulons. Mieux vaut utiliser un développement limité de $h(x)$ en $x=-1$: $$h(-1) = 0,$$ $$h'(x) = 12x^2 + 2,$$ $$h'(-1) = 12 + 2 = 14,$$ donc près de $-1$, $$h(x) \approx h(-1) + h'(-1)(x+1) = 14(x+1).$$ Ainsi $$\sqrt{h(x)} \approx \sqrt{14(x+1)}.$$ De même, $$g(x) = x + x^2 = x(1+x),$$ $$g(-1) = 0,$$ et $$g'(x) = 1 + 2x,$$ $$g'(-1) = 1 - 2 = -1.$$ Près de $-1$, $$g(x) \approx g'(-1)(x+1) = -1 \times (x+1) = -(x+1).$$ Donc $$f(x) \approx \frac{\sqrt{14(x+1)}}{-(x+1)} = -\frac{\sqrt{14(x+1)}}{x+1}.$$ Pour $x \to -1^+$, $x+1 > 0$, donc le numérateur est positif, $$f(x) \approx -\frac{\sqrt{14(x+1)}}{x+1} = -\frac{\sqrt{14} \sqrt{x+1}}{x+1} = -\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{x+1}} \to -\infty.$$ Pour $x \to -1^-$, $x+1 < 0$, ce qui dans $rac{ ext{positive}}{ ext{negative}}$ donne $$f(x) \approx -\frac{\sqrt{14} \sqrt{|x+1|}}{x+1} = -\frac{\sqrt{14} \sqrt{- (x+1)}}{x+1} = -\frac{\sqrt{14} i \sqrt{x+1}}{x+1},$$ impliquant que la fonction n'est pas réelle à gauche de $-1$ (mauvais signe sous la racine pour $x < -1$). Donc la limite n'existe pas à gauche, donc $f$ n'est pas continue en $-1$ pour aucune valeur de $m$ réelle. A.3) Soit $g(x) = (x+1)^2 f(x)$, étudions sa continuité en $x = -1$. On a $$g(x) = (x+1)^2 \times \frac{\sqrt{5 + 4x^3 + 2x + 1}}{x + x^2} = \frac{(x+1)^2 \sqrt{h(x)}}{x(1+x)}.$$ Notons que $$x + x^2 = x(1+x).$$ Donc $$g(x) = \frac{(x+1)^2 \sqrt{h(x)}}{x (x+1)} = \frac{(x+1) \sqrt{h(x)}}{x}.$$ Calculons la limite en $x \to -1$: - Numérateur: $$(x+1) \sqrt{h(x)} \approx (x+1) \sqrt{14(x+1)} = (x+1) \sqrt{14} \sqrt{x+1} = \sqrt{14} (x+1)^{3/2}.$$ - Dénominateur : $x \to -1$. Donc $$g(x) \approx \frac{\sqrt{14} (x+1)^{3/2}}{x}.$$ En $x \to -1$, $(x+1) \to 0$ donc $(x+1)^{3/2} \to 0$, et $x \to -1$, limite est donc 0. $\Rightarrow$ La limite de $g(x)$ en $-1$ est 0. Calculons $g(-1)$: $$g(-1) = (0)^2 \times f(-1) = 0,$$ indépendamment de $m$. Donc $g$ est continue en $-1$. B.1) Fonction $g(x)$ définie par morceaux: $$g(x) = \begin{cases} x + a + \sqrt{x^2 + x + 1} & x \leq 0 \\ x^{\in}(x) & 0 < x \leq 2 \\ \frac{|2x - x^{2}|}{\sqrt{x^2 - 4}} & x > 2 \end{cases}$$ L'écriture $x^{\in}(x)$ est ambiguë; supposons que ce soit une erreur de transcription et que la fonction soit définie sur l'intervalle $(0,2]$ par une fonction continue en $x$, notée $h(x)$. - Première définition: $x + a + \sqrt{x^2 + x + 1}$ avec $\sqrt{\cdot}$ bien défini sur $x \leq 0$. Le radicande $x^2 + x + 1$ est toujours strictement positif: $$\Delta = 1 - 4 < 0,$$ donc la racine est définie pour tous $x$ réels. - Deuxième partie est définie sur $(0, 2]$. - Troisième partie: $$g(x) = \frac{|2x - x^{2}|}{\sqrt{x^2 - 4}}, x > 2.$$ La racine est définie pour $x^2 - 4 > 0$, soit $|x| > 2$. Pour $x > 2$, racine définie. Conclusion sur $D_g$: $$D_g = (-\infty, 0] \cup (0, 2] \cup (2, +\infty) = (-\infty, +\infty) \setminus \{0\},$$ en supposant $g$ définie en $x=0$ par la première branche et sur $(0,2]$ par la deuxième. B.2) Calcul des limites en $x \to 2^-$ et $x \to 2^+$. - $x \to 2^-$ sur la deuxième branche $h(x)$ (non précisée), supposons $h$ continue sur $(0, 2]$, la limite est $h(2)$. - $x \to 2^+$: $$g(x) = \frac{|2x - x^2|}{\sqrt{x^2 -4}}.$$ En $x = 2$, - Numérateur: $2\times 2 - 2^2 = 4 - 4 = 0$. - Dénominateur: $\sqrt{4 -4} = 0$. Forme $0/0$ indéterminée. Utilisons un développement limité de numérateur et dénominateur en $x = 2$: - Numerateur $f(x) = |2x - x^2|$ près de 2: $$2x - x^2 = 2 \times 2 - 4 = 0,$$ Dérivée: $$f'(x) = |2 - 2x|\text{ avec prise en compte valeur absolue}.$$ Pour $x > 2$, $2x - x^2 < 0$, donc $$|2x - x^2| = -(2x - x^2) = x^2 - 2x,$$ et dérivée $$2x - 2,$$ en $x=2$: $$2 \times 2 - 2 = 2,$$ Donc près de 2: $$|2x - x^2| \approx 0 + 2(x-2).$$ Le dénominateur: $$\sqrt{x^2 - 4} = \sqrt{(x-2)(x+2)} \approx \sqrt{(x-2) \times 4} = 2 \sqrt{x-2}.$$ Limitons la fraction: $$g(x) \approx \frac{2(x-2)}{2 \sqrt{x-2}} = \frac{2(x-2)}{2 (x-2)^{1/2}} = (x-2)^{1/2} \to 0 \, \text{quand } x \to 2^+.$$ Donc: $$\lim_{x \to 2^-} g(x) = h(2),$$ $$\lim_{x \to 2^+} g(x) = 0.$$ B.3) Déterminer $a$ pour que $g$ soit continue en 0. Puisque $$g(0) = 0 + a + \sqrt{0 + 0 + 1} = a + 1,$$ limite à gauche est cette valeur. D'autre part, $$\lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} h(x)$$ (fonction définie sur $(0,2]$). Pour continuité en 0, il faut $$a + 1 = \lim_{x \to 0^+} h(x).$$ B.4) Avec $a = -1$ et $b=1$ (b semble être un paramètre de $h$ non précisé), déterminer les intervalles de continuité de $g$. - La fonction est continue sur chaque intervalle où elle est définie et $h$ est continue. - Il faut vérifier la continuité en $x=0$ et $x=2$. - En $x=0$: Avec $a=-1$, $$g(0) = -1 + 1 = 0,$$ on égalise à $\lim_{x \to 0^+} h(x)$, donc $g$ continue en 0 si $\lim_{x \to 0^+} h(x) = 0$. - En $x=2$: $\lim_{x \to 2^-} g = h(2)$, $\lim_{x \to 2^+} g = 0$. Pour que $g$ soit continue en 2 il faut $$h(2) = 0.$$ Avec $b=1$ et hypothèse sur $h$, cette condition doit être vérifiée. Sinon, $g$ est continue sur $(-\infty, 0]$, $(0,2]$, et $(2,+\infty)$ sauf peut-être aux points 0 et 2. --- Résumé: - $D_f = \{x: x \neq 0, x \neq -1, 5 + 4x^3 + 2x + 1 \geq 0\}$. - $f$ non continue en $-1$ pour aucune valeur réelle $m$. - $g(x) = (x+1)^2 f(x)$ est continue en $x=-1$. - Domaine de $g$ est $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. - Limites à 2 différentes, continuité en 0 conditionnée par $a$. - Continuité en 0 égale à $a + 1 = \lim_{x \to 0^+} h(x)$. - Continuité en 2 conditionnée par égalité des limites.