1. Énoncé du problème : Calculer les limites de la fonction $$f(x) = x - 3 + \frac{x}{(\sqrt{x} - 1)^2}$$ en $$x \to -\infty$$ et en $$x \to 1$$. 2. Calcul de $$\lim_{x \to -\infty} f(x)$$ : - La fonction est définie pour $$x \geq 0$$ sauf en $$x=1$$, donc $$f(x)$$ n'est pas définie pour $$x<0$$. - Ainsi, $$\lim_{x \to -\infty} f(x)$$ n'existe pas car $$f$$ n'est pas défini sur $$]-\infty,0[$$. 3. Calcul de $$\lim_{x \to 1} f(x)$$ : - Posons $$x = 1 + h$$ avec $$h \to 0$$. - Calculons $$f(1+h) = (1+h) - 3 + \frac{1+h}{(\sqrt{1+h} - 1)^2} = (h - 2) + \frac{1+h}{(\sqrt{1+h} - 1)^2}$$. - Approximons $$\sqrt{1+h} \approx 1 + \frac{h}{2}$$ pour $$h \to 0$$. - Donc, $$\sqrt{1+h} - 1 \approx \frac{h}{2}$$. - Ainsi, $$(\sqrt{1+h} - 1)^2 \approx \left(\frac{h}{2}\right)^2 = \frac{h^2}{4}$$. - Le terme fractionnaire vaut donc $$\frac{1+h}{h^2/4} = \frac{4(1+h)}{h^2}$$. - En combinant tout : $$f(1+h) \approx h - 2 + \frac{4(1+h)}{h^2}$$. - Lorsque $$h \to 0^+$$, $$\frac{4(1+h)}{h^2} \to +\infty$$, donc $$f(x) \to +\infty$$. - Lorsque $$h \to 0^-$$, $$h^2$$ est toujours positif (car carré), donc $$\frac{4(1+h)}{h^2} \to +\infty$$ aussi, mais il faut vérifier le domaine:$$f$$ est défini sur $$[0,1[ \cup ]1,+\infty[$$, donc limite de droite et de gauche sont analytiquement sur domaines différents. - Plus précisément, depuis la gauche $$x \to 1^-$$ dans $$[0,1[,$$ l'analyse similaire montre que la limite tend vers $$+\infty$$. 4. Conclusion : $$\lim_{x \to 1} f(x) = +\infty$$. 5. Partie 2b) : Montrer que $$\lim_{x \to +\infty} \left[f(x) - (x - 2)\right] = 0$$. - Calculons $$f(x) - (x - 2) = \left(x - 3 + \frac{x}{(\sqrt{x} - 1)^2}\right) - (x - 2) = -1 + \frac{x}{(\sqrt{x} - 1)^2}$$. - Notons $$y = \sqrt{x}$$, alors $$f(x) - (x - 2) = -1 + \frac{y^2}{(y - 1)^2}$$. - Développons : $$\frac{y^2}{(y - 1)^2} = \frac{y^2}{y^2 - 2y + 1} = \frac{y^2 - 2y + 1 + 2y - 1}{y^2 - 2y + 1} = 1 + \frac{2y - 1}{(y - 1)^2}$$. - Donc $$f(x) - (x - 2) = -1 + 1 + \frac{2y - 1}{(y - 1)^2} = \frac{2y - 1}{(y - 1)^2}$$. - Lorsque $$x \to +\infty$$, $$y = \sqrt{x} \to +\infty$$. - Donc $$\lim_{y \to +\infty} \frac{2y - 1}{(y - 1)^2} = \lim_{y \to +\infty} \frac{2y - 1}{y^2 - 2y + 1} = 0$$ car le dénominateur est quadratique, le numérateur linéaire. 6. Interprétation graphique : - La limite signifie que la courbe de $$f$$ a pour asymptote oblique la droite $$y = x - 2$$ lorsque $$x \to +\infty$$. - Cette droite est une asymptote oblique. Finalement, pour la question 2 : - $$\lim_{x \to -\infty} f(x)$$ n'existe pas (fonction non définie pour $$x<0$$). - $$\lim_{x \to 1} f(x) = +\infty$$. - $$\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (x - 2)] = 0,$$ donc asymptote oblique $$y = x - 2$$.