1. Énoncé du problème : Étudier la continuité de la fonction $f$ définie par : $$f(x) = \begin{cases} 2x^2 - 3x & \text{si } x < -1 \\ x^2 + 4 & \text{si } -1 \leq x < 1 \\ \sqrt{x^2 + 1} + 2 & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$$ aux points $x = -1$, $x = 1$ et $x = 0$, puis déterminer si $f$ est continue sur $\mathbb{R}$. 2. Continuité en $x = -1$ : - Calcul de $f(-1)$ : $$f(-1) = (-1)^2 + 4 = 1 + 4 = 5$$ car $-1 \leq x < 1$. - Limite à gauche $x \to -1^-$ : $$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (2x^2 - 3x) = 2\times (-1)^2 - 3\times (-1) = 2 + 3 = 5$$ - Limite à droite $x \to -1^+$ : $$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} (x^2 + 4) = (-1)^2 + 4 = 1 + 4 = 5$$ - Conclusion : Les limites gauche et droite sont égales à $f(-1)$ donc $f$ est continue en $x = -1$. 3. Continuité en $x = 1$ : - Calcul de $f(1)$ : $$f(1) = \sqrt{1^2 + 1} + 2 = \sqrt{2} + 2$$ - Limite à gauche $x \to 1^-$ : $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 + 4) = 1^2 + 4 = 5$$ - Limite à droite $x \to 1^+$ : $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (\sqrt{x^2 + 1} + 2) = \sqrt{1 + 1} + 2 = \sqrt{2} + 2$$ - Valeurs numériques : $5 \approx 5.0$ et $\sqrt{2} + 2 \approx 3.414 + 2 = 4.414$ - Conclusion : Limite gauche $\neq$ limite droite donc $f$ n'est pas continue en $x = 1$. 4. Continuité en $x = 0$ : - Le point $0$ appartient à l'intervalle $-1 \leq x < 1$, donc : $$f(0) = 0^2 + 4 = 4$$ - Limite à gauche $x \to 0^-$ : $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x^2 + 4) = 0 + 4 = 4$$ - Limite à droite $x \to 0^+$ : $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2 + 4) = 0 + 4 = 4$$ - Conclusion : $f$ est continue en $x = 0$. 5. Continuité sur $\mathbb{R}$ : - $f$ est continue sur chaque intervalle de définition puisque chaque expression est continue. - Continuité aux points de jonction: - En $-1$, $f$ est continue. - En $1$, $f$ n'est pas continue car les limites gauche et droite diffèrent. Donc, $f$ n'est pas continue sur $\mathbb{R}$. Réponse finale : $f$ est continue en $x=-1$ et $x=0$, mais pas en $x=1$. $f$ n'est pas continue sur $\mathbb{R}$ en raison de la discontinuité en $x=1$.