∫ calculus

1. **Evaluate:** $$I = \int_0^1 \int_0^x (x^2 + y^2) \, dy \, dx$$

1. مسئله: مقدار حد تابع $$f(x) = \frac{|x^2 - |x||}{|x^2 + |x||}$$ وقتی $$x \to 0$$ را بیابید. 2. ابتدا باید تابع را برای $$x>0$$ و $$x<0$$ جداگانه بررسی کنیم چون قدر مطلق داریم.

1. مسئله اول: مقدار حد $$\lim_{x \to a} \frac{x^2 - a^2}{x^2 - 4x + 3}$$ را بیابید، وقتی که $$\lim_{x \to a} \frac{ax + 3}{2x - \sqrt{x^2 + 1}} = 1$$. 2. ابتدا حد اول را بررسی می‌ک

1. مسئله: تابعی خطی $f$ داده شده است که دو حد زیر برقرار است: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{f(x)} = \infty$$

1. مسئله اول: حد تابع $$f(x) = \frac{x^2 + kx + 1}{x^2 + 7x + 5}$$ در $$x \to -\infty$$ برابر 1 است. باید مقدار $$k$$ را پیدا کنیم. 2. برای حد در بی‌نهایت، ضریب‌های درجه بالاتر در

1. **Problem Statement:** Given the functions $f$ and $g$ with the relation $$2 = \frac{x + (f \circ g)(x)}{f(x) + g(x)}$$ and the limit $$\lim_{x \to +\infty} 2 = \lim_{x \to +\in

1. مسئله اول: محاسبه حد $$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 + ax^2 + bx}{x - 1} = \frac{ax + \sqrt{x^2 + 4}}{bx - 3}$$. 2. برای وجود حد در $$x=1$$، صورت کسر باید در $$x=1$$ برابر صفر شود تا

1. مسئله: مقدار $a$ را بیابید به طوری که $$\lim_{x \to 1} \frac{1 - 2x}{2x^3 + a x - a - 2} = -\infty$$

1. **Problem statement:** Find the derivative of the function $y = f(x) = 2x^2$. 2. **Formula used:** The derivative of a function $f(x)$ with respect to $x$ is given by $f'(x) = \

1. مسئله را بیان می‌کنیم: باید حد $$\lim_{x \to 3^-} \frac{x}{3 - (f \circ f)(x)}$$ را برای تابع $$f(x) = x^3 - 2x$$ بیابیم. 2. ابتدا تابع مرکب $$f \circ f(x) = f(f(x))$$ را محاسبه

1. مسئله: تابع $f(x) = \frac{a}{\sqrt{a-x}}$ داده شده است و داریم: $$2 = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} f^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$$

1. نبدأ بكتابة المسألة: نريد حساب قيمة التعبير $$\int_0^1 h(s)s \, ds + \int_0^1 h(s)(s^2 + 2)s \, ds$$. 2. نلاحظ أن التعبير يحتوي على مجموع تكاملين، يمكننا جمعهما تحت تكامل واحد ل

1. نبدأ ببيان المسألة: لدينا الاقتران الأصلي ه(س) = س^2 - يس، ونريد إيجاد الاقتران ن(س) بحيث \( \frac{d}{ds} ن(س) = ه(س) \). 2. القاعدة المستخدمة: الاقتران ن(س) هو التكامل غير المح

1. **State the problem:** Find the limit $$\lim_{x \to 1} \frac{x^r - \lfloor x \rfloor}{x - \sqrt{x}}$$ where $\lfloor x \rfloor$ is the greatest integer function (floor function)

1. **Problem statement:** Find the limit $$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - \lfloor x \rfloor}{x - \sqrt{x}}$$ where $\lfloor x \rfloor$ is the floor function (greatest integer less than

1. **State the problem:** We want to find the limit $$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^y - \lfloor x \rfloor}{x - \sqrt{x}}$$

1. The problem is to solve a calculus problem from the chapter on calculus. 2. Since the user did not specify a particular problem, let's consider a common calculus problem: findin

1. **State the problem:** We are given the limit $$\lim_{x \to 1} \frac{f^3(x) - 8}{2x^3 - x - 1} = 16$$ and the function $$y = f(x)$$. We want to find information about the functi

1. **Problem:** Evaluate the double integral $$\int_0^1 \int_1^3 xy \, dx \, dy.$$\n\n2. **Formula and rules:** For double integrals over rectangular regions, integrate the inner i

1. **Problem:** Evaluate the double integral $$\int_0^1 \int_1^3 xy \, dx \, dy$$. 2. **Formula and rules:** For double integrals over rectangular regions, integrate the inner inte

1. **Problem statement:** Evaluate the integral $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 \theta \cos^3 \theta \, d\theta$$ and express it in terms of the Beta function, then compute its val