1. مسئله اول: محاسبه حد $$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 + ax^2 + bx}{x - 1} = \frac{ax + \sqrt{x^2 + 4}}{bx - 3}$$. 2. برای وجود حد در $$x=1$$، صورت کسر باید در $$x=1$$ برابر صفر شود تا کسر به صورت نامعین $$\frac{0}{0}$$ باشد و بتوانیم حد را با مشتق‌گیری یا ساده‌سازی محاسبه کنیم. 3. جایگذاری $$x=1$$ در صورت: $$1^3 + a \cdot 1^2 + b \cdot 1 = 1 + a + b = 0 \Rightarrow a + b = -1$$ 4. حال مشتق صورت و مخرج را نسبت به $$x$$ می‌گیریم: صورت: $$3x^2 + 2ax + b$$ مخرج: $$1$$ 5. حد برابر است با مقدار مشتق صورت در $$x=1$$: $$3 \cdot 1^2 + 2a \cdot 1 + b = 3 + 2a + b$$ 6. سمت راست حد را در $$x=1$$ محاسبه می‌کنیم: $$\frac{a \cdot 1 + \sqrt{1^2 + 4}}{b \cdot 1 - 3} = \frac{a + \sqrt{5}}{b - 3}$$ 7. چون حد‌ها برابرند: $$3 + 2a + b = \frac{a + \sqrt{5}}{b - 3}$$ 8. با توجه به $$a + b = -1$$، می‌توانیم $$b = -1 - a$$ جایگذاری کنیم و معادله را حل کنیم. 9. مسئله دوم: محاسبه $$\lim_{x \to +\infty} x f\left(\frac{x}{x+1}\right)$$ با $$f(x) = \frac{x-1}{x+1}$$. 10. ابتدا مقدار داخل تابع را ساده می‌کنیم: $$\frac{x}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}$$ 11. سپس: $$f\left(1 - \frac{1}{x+1}\right) = \frac{\left(1 - \frac{1}{x+1}\right) - 1}{\left(1 - \frac{1}{x+1}\right) + 1} = \frac{- \frac{1}{x+1}}{2 - \frac{1}{x+1}} = \frac{-1}{(x+1)(2 - \frac{1}{x+1})}$$ 12. حال حد را محاسبه می‌کنیم: $$\lim_{x \to +\infty} x \cdot \frac{-1}{(x+1)(2 - \frac{1}{x+1})} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-x}{(x+1)(2 - \frac{1}{x+1})}$$ 13. با تقسیم صورت و مخرج بر $$x$$ و جایگذاری حد، مقدار حد برابر است با: $$\frac{-1}{2}$$ پاسخ‌ها: 1) برای مسئله اول، با حل معادله مقدار حد برابر با گزینه 2 یعنی $$-3$$ است. 2) برای مسئله دوم، مقدار حد $$-\frac{1}{2}$$ است.