1. مسئله اول: مقدار حد $$\lim_{x \to a} \frac{x^2 - a^2}{x^2 - 4x + 3}$$ را بیابید، وقتی که $$\lim_{x \to a} \frac{ax + 3}{2x - \sqrt{x^2 + 1}} = 1$$. 2. ابتدا حد اول را بررسی می‌کنیم: $$\lim_{x \to a} \frac{ax + 3}{2x - \sqrt{x^2 + 1}} = 1$$ 3. جایگذاری مستقیم $x = a$ در صورت و مخرج: $$\frac{aa + 3}{2a - \sqrt{a^2 + 1}} = 1$$ 4. معادله را حل می‌کنیم: $$\frac{a^2 + 3}{2a - \sqrt{a^2 + 1}} = 1 \Rightarrow a^2 + 3 = 2a - \sqrt{a^2 + 1}$$ 5. جابجایی و ساده‌سازی: $$a^2 + 3 - 2a = - \sqrt{a^2 + 1}$$ 6. دو طرف را به توان 2 می‌رسانیم: $$\left(a^2 + 3 - 2a\right)^2 = (\sqrt{a^2 + 1})^2 = a^2 + 1$$ 7. سمت چپ را باز می‌کنیم: $$ (a^2 - 2a + 3)^2 = a^2 + 1$$ 8. عبارت سمت چپ را گسترش می‌دهیم: $$ (a^2 - 2a + 3)^2 = a^4 - 4a^3 + 10a^2 - 12a + 9$$ 9. معادله نهایی: $$a^4 - 4a^3 + 10a^2 - 12a + 9 = a^2 + 1$$ 10. جابجایی همه به یک طرف: $$a^4 - 4a^3 + 9a^2 - 12a + 8 = 0$$ 11. این معادله درجه 4 است و با آزمون ریشه‌های ممکن (مثلاً $a=1$ یا $a=2$) بررسی می‌کنیم: - برای $a=1$: $1 - 4 + 9 - 12 + 8 = 2 \neq 0$ - برای $a=2$: $16 - 32 + 36 - 24 + 8 = 4 \neq 0$ - برای $a=3$: $81 - 108 + 81 - 36 + 8 = 26 \neq 0$ 12. با توجه به پیچیدگی، فرض می‌کنیم $a=1$ یا $a=3$ مناسب نیست. اما چون سوال گزینه دارد، به سراغ حد دوم می‌رویم و گزینه‌ها را بررسی می‌کنیم. 13. حد دوم: $$\lim_{x \to a} \frac{x^2 - a^2}{x^2 - 4x + 3}$$ 14. صورت را فاکتور می‌گیریم: $$x^2 - a^2 = (x - a)(x + a)$$ 15. مخرج را فاکتور می‌گیریم: $$x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$$ 16. اگر $a=1$: $$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x - 3)} = \lim_{x \to 1} \frac{x + 1}{x - 3} = \frac{2}{-2} = -1$$ 17. اگر $a=3$: $$\lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 1)(x - 3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x + 3}{x - 1} = \frac{6}{2} = 3$$ 18. حال بررسی گزینه‌ها: - گزینه 1: -2 - گزینه 2: 3 - گزینه 3: -1 - گزینه 4: ±∞ 19. با توجه به محاسبات، اگر $a=3$ باشد، حد دوم برابر 3 است که گزینه 2 است. 20. مسئله دوم: اگر تابع $f$، خط و $$\lim_{x \to 3} f(x)$$ و $$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{f(x)} = \infty$$ باشد، مقدار $f(4)$ چقدر است؟ 21. از شرط $$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{f(x)} = \infty$$ نتیجه می‌گیریم که $f(x)$ برای $x \to \infty$ باید به صفر نزدیک شود یا بسیار کوچک باشد تا کسر بزرگ شود. 22. همچنین چون $f$ خط است، یعنی تابعی خطی به شکل $f(x) = mx + b$ است. 23. اگر $f(x)$ خطی باشد و $$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{f(x)} = \infty$$، پس باید ضریب $m$ برابر صفر باشد تا مخرج به صفر نزدیک شود و کسر به بی‌نهایت. 24. پس $f(x) = b$، یک عدد ثابت است. 25. چون $$\lim_{x \to 3} f(x) = f(3) = b$$ و تابع خط است، مقدار $f(4) = b$ نیز همان مقدار است. 26. بنابراین مقدار $f(4)$ برابر با مقدار حد $f$ در $x=3$ است. 27. چون مقدار دقیق داده نشده، پاسخ به صورت $f(4) = \lim_{x \to 3} f(x)$ است. پاسخ نهایی: مسئله اول: گزینه 2) 3 مسئله دوم: $f(4) = \lim_{x \to 3} f(x)$