1. مسئله: تابعی خطی $f$ داده شده است که دو حد زیر برقرار است: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{f(x)} = \infty$$ $$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{f^{-1}(x)} = 2$$ هدف یافتن مقدار $f(2)$ است. 2. چون $f$ خطی است، فرض می‌کنیم: $$f(x) = ax + b$$ و معکوس آن: $$f^{-1}(x) = \frac{x - b}{a}$$ 3. بررسی حد اول: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{f(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{ax + b} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{a x + b}$$ برای این حد به بی‌نهایت میل کند، صورت باید سریع‌تر از مخرج رشد کند یا مخرج به صفر میل کند. چون $a x$ در مخرج است، اگر $a \neq 0$، حد برابر با $\frac{1}{a}$ می‌شود. برای اینکه حد برابر با $\infty$ شود، باید: $$a = 0$$ 4. پس: $$f(x) = b$$ یک تابع ثابت. 5. بررسی حد دوم: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{f^{-1}(x)} = 2$$ اگر $a=0$، معکوس وجود ندارد (چون تابع ثابت است و معکوس ندارد). پس فرض $a=0$ نادرست است. 6. بنابراین حد اول را دوباره بررسی می‌کنیم: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{a x + b} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{a x (1 + \frac{b}{a x})} = \frac{1}{a}$$ برای اینکه این حد برابر با $\infty$ شود، باید $a=0$ باشد که با معکوس تابع خطی ناسازگار است. 7. پس احتمالاً منظور این است که حد اول به سمت بی‌نهایت میل کند، یعنی: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{f(x)} = \infty \implies f(x) \to 0$$ که با تابع خطی سازگار نیست مگر اینکه $a=0$ و $b=0$ که تابع صفر است. 8. فرض کنیم حد اول به اشتباه نوشته شده و منظور: $$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \infty$$ که در این صورت: $$\lim_{x \to \infty} \frac{a x + b}{x} = a = \infty$$ که ممکن نیست چون $a$ عدد ثابت است. 9. حال حد دوم را بررسی می‌کنیم: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{f^{-1}(x)} = 2$$ با توجه به معکوس: $$f^{-1}(x) = \frac{x - b}{a}$$ پس: $$\frac{x}{f^{-1}(x)} = \frac{x}{\frac{x - b}{a}} = \frac{a x}{x - b} = a \cdot \frac{x}{x - b}$$ وقتی $x \to \infty$، $$\frac{x}{x - b} \to 1$$ پس: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{f^{-1}(x)} = a = 2$$ 10. پس $a=2$. 11. حال حد اول را دوباره با $a=2$ بررسی می‌کنیم: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{f(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{2 x + b} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{2 x (1 + \frac{b}{2 x})} = \frac{1}{2}$$ که برابر با بی‌نهایت نیست. 12. بنابراین شرط حد اول به این معنی است که: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{f(x)} = \infty \implies f(x) \to 0$$ که با $a=2$ و $b$ عدد ثابت ممکن نیست. 13. پس $b=0$ فرض می‌کنیم تا حد اول را بررسی کنیم: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{2 x} = \frac{1}{2}$$ که برابر با بی‌نهایت نیست. 14. پس احتمالاً اشتباه در صورت سوال است یا منظور این است که: $$\lim_{x \to 0} \frac{x}{f(x)} = \infty$$ که در این صورت: $$\lim_{x \to 0} \frac{x}{2 x + b} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{b} = 0$$ که باز هم بی‌نهایت نیست. 15. با توجه به گزینه‌ها و $a=2$، مقدار $f(2)$ برابر است با: $$f(2) = 2 \times 2 + b = 4 + b$$ 16. چون $b$ در حد دوم حذف می‌شود و حد دوم فقط $a$ را تعیین می‌کند، و حد اول به احتمال زیاد اشتباه است، فرض می‌کنیم $b=0$ تا ساده باشد. 17. پس: $$f(2) = 4$$ پاسخ نهایی: ۴ (۲)