1. مسئله: تابع $f(x) = \frac{a}{\sqrt{a-x}}$ داده شده است و داریم: $$2 = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} f^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$$ هدف یافتن مقدار $a$ است. 2. ابتدا معکوس تابع $f$ را بیابیم. فرض کنیم: $$y = \frac{a}{\sqrt{a-x}}$$ 3. معادله را برای $x$ حل می‌کنیم: $$y = \frac{a}{\sqrt{a-x}} \Rightarrow \sqrt{a-x} = \frac{a}{y} \Rightarrow a - x = \frac{a^2}{y^2} \Rightarrow x = a - \frac{a^2}{y^2}$$ 4. پس معکوس تابع به صورت زیر است: $$f^{-1}(y) = a - \frac{a^2}{y^2}$$ 5. حال حد داده شده را محاسبه می‌کنیم: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} f^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} \left(a - \frac{a^2}{(1/x)^2}\right) = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} \left(a - a^2 x^2\right)$$ 6. عبارت داخل پرانتز را بازنویسی می‌کنیم: $$a - a^2 x^2$$ 7. پس: $$\frac{1}{x} (a - a^2 x^2) = \frac{a}{x} - a^2 x$$ 8. وقتی $x \to -\infty$، $\frac{a}{x} \to 0$ و $-a^2 x \to +\infty$ یا $-\infty$ بسته به علامت $a^2 x$ دارد. برای اینکه حد برابر 2 شود، باید ضریب $x$ صفر شود یا حد متناهی باشد. 9. این امر فقط زمانی ممکن است که ضریب $x$ صفر شود، یعنی: $$a^2 = 0 \Rightarrow a = 0$$ اما اگر $a=0$ باشد، تابع تعریف نمی‌شود. پس باید دوباره بررسی کنیم. 10. در واقع در مرحله 5 اشتباه کردیم. باید دقت کنیم که: $$f^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) = a - \frac{a^2}{(1/x)^2} = a - a^2 x^2$$ 11. پس: $$\frac{1}{x} f^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} (a - a^2 x^2) = \frac{a}{x} - a^2 x$$ 12. وقتی $x \to -\infty$، $\frac{a}{x} \to 0$ و $-a^2 x \to +\infty$ یا $-\infty$ بسته به علامت $a^2 x$ دارد. برای اینکه حد برابر 2 شود، باید ضریب $x$ صفر شود یا حد متناهی باشد. 13. پس باید ضریب $x$ صفر شود، یعنی: $$a^2 = 0 \Rightarrow a=0$$ که غیرممکن است. 14. بنابراین فرض اولیه اشتباه است. احتمالاً تابع داده شده اشتباه خوانده شده است یا باید تابع دیگری بررسی شود. 15. در متن سوال دوم تابع $f(x) = \frac{a}{2a - x}$ داده شده است و حد: $$2 = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} f^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$$ 16. معکوس تابع $f(x) = \frac{a}{2a - x}$ را می‌یابیم: $$y = \frac{a}{2a - x} \Rightarrow y(2a - x) = a \Rightarrow 2a y - y x = a \Rightarrow -y x = a - 2a y \Rightarrow x = \frac{2a y - a}{y} = 2a - \frac{a}{y}$$ 17. پس: $$f^{-1}(y) = 2a - \frac{a}{y}$$ 18. حد را محاسبه می‌کنیم: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} f^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} \left(2a - a x\right) = \lim_{x \to -\infty} \frac{2a}{x} - a = -a$$ 19. طبق داده: $$2 = -a \Rightarrow a = -2$$ 20. حال مقدار $f(2)$ را محاسبه می‌کنیم: $$f(2) = \frac{a}{2a - 2} = \frac{-2}{2(-2) - 2} = \frac{-2}{-4 - 2} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$$ پاسخ نهایی: گزینه 1 یعنی $\frac{1}{3}$