1. **Evaluate:** $$I = \int_0^1 \int_0^x (x^2 + y^2) \, dy \, dx$$ 2. **Reverse the order of integration and evaluate:** $$I = \int_0^1 \int_x^{2-x} xy \, dy \, dx$$ 3. **Reverse the order of integration and find its value:** $$I = \int_0^1 \int_1^2 \frac{1}{x^2 + y^2} \, dy \, dx + \int_1^2 \int_x^2 \frac{1}{x^2 + y^2} \, dy \, dx$$ 4. **By using polar coordinates, evaluate:** $$I = \int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^0 \cos(x^2 + y^2) \, dy \, dx$$ 5. **Evaluate by first reversing the order of integration:** $$I = \int_0^8 \int_{\sqrt{y}}^{4y} \sqrt{x^4 + 1} \, dx \, dy$$ 6. **Use a double integral to determine the volume of the solid inside the cylinder** $$x^2 + y^2 = 16,$$ **below** $$z = 2x^2 + 2y^2,$$ **and above the xy-plane.** --- ### الحل خطوة بخطوة: 1. **مسألة 1:** - نبدأ بتعريف المسألة: حساب التكامل المزدوج - التكامل: $$I = \int_0^1 \int_0^x (x^2 + y^2) \, dy \, dx$$ - نستخدم خاصية جمع التكاملات: $$\int_0^x (x^2 + y^2) \, dy = \int_0^x x^2 \, dy + \int_0^x y^2 \, dy$$ - التكامل الأول: $$x^2 \int_0^x dy = x^2 [y]_0^x = x^3$$ - التكامل الثاني: $$\int_0^x y^2 \, dy = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^x = \frac{x^3}{3}$$ - إذن: $$\int_0^x (x^2 + y^2) \, dy = x^3 + \frac{x^3}{3} = \frac{4x^3}{3}$$ - الآن التكامل الخارجي: $$I = \int_0^1 \frac{4x^3}{3} \, dx = \frac{4}{3} \int_0^1 x^3 \, dx = \frac{4}{3} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{4}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{3}$$ **النتيجة:** $$I = \frac{1}{3}$$ 2. **مسألة 2:** - التكامل المعطى: $$I = \int_0^1 \int_x^{2-x} xy \, dy \, dx$$ - نحدد حدود التكامل المعكوسة: من $y$ بين $x$ و $2-x$ و $x$ بين 0 و 1. - نلاحظ أن $y$ يتغير من $x$ إلى $2-x$، و $x$ من 0 إلى 1. - نعيد ترتيب التكامل بحيث يكون $y$ هو المتغير الخارجي: نجد مجال $y$: عندما $x=0$, $y$ من 0 إلى 2 عندما $x=1$, $y$ من 1 إلى 1 إذن $y$ يتغير من 0 إلى 1 - نحل المعادلتين: من $y = x$ و $y = 2 - x$ نحصل على: $x = y$ و $x = 2 - y$ - إذن التكامل المعكوس هو: $$I = \int_0^1 \int_y^{2-y} xy \, dx \, dy$$ - نحسب التكامل الداخلي: $$\int_y^{2-y} xy \, dx = y \int_y^{2-y} x \, dx = y \left[ \frac{x^2}{2} \right]_y^{2-y} = y \left( \frac{(2-y)^2}{2} - \frac{y^2}{2} \right) = \frac{y}{2} \left( (2-y)^2 - y^2 \right)$$ - نبسط: $$(2-y)^2 - y^2 = (4 - 4y + y^2) - y^2 = 4 - 4y$$ - إذن: $$\int_y^{2-y} xy \, dx = \frac{y}{2} (4 - 4y) = 2y - 2y^2$$ - التكامل الخارجي: $$I = \int_0^1 (2y - 2y^2) \, dy = \left[ y^2 - \frac{2y^3}{3} \right]_0^1 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$ **النتيجة:** $$I = \frac{1}{3}$$ 3. **مسألة 3:** - التكامل: $$I = \int_0^1 \int_1^2 \frac{1}{x^2 + y^2} \, dy \, dx + \int_1^2 \int_x^2 \frac{1}{x^2 + y^2} \, dy \, dx$$ - نعيد ترتيب حدود التكامل: المنطقة الأولى: $x$ من 0 إلى 1، $y$ من 1 إلى 2 المنطقة الثانية: $x$ من 1 إلى 2، $y$ من $x$ إلى 2 - نلاحظ أن $y$ يتغير من 1 إلى 2، و $x$ من 0 إلى $y$. - إذن التكامل المعكوس هو: $$I = \int_1^2 \int_0^y \frac{1}{x^2 + y^2} \, dx \, dy$$ - التكامل الداخلي بالنسبة لـ $x$: $$\int_0^y \frac{1}{x^2 + y^2} \, dx = \frac{1}{y} \int_0^y \frac{1}{(x/y)^2 + 1} \, dx = \frac{1}{y} \int_0^y \frac{1}{(x/y)^2 + 1} \, dx$$ - نغير المتغير: $u = \frac{x}{y}$، إذن $dx = y du$ - التكامل يصبح: $$\frac{1}{y} \int_0^1 \frac{1}{u^2 + 1} y \, du = \int_0^1 \frac{1}{u^2 + 1} \, du = [\arctan(u)]_0^1 = \frac{\pi}{4}$$ - إذن: $$I = \int_1^2 \frac{\pi}{4} \, dy = \frac{\pi}{4} (2 - 1) = \frac{\pi}{4}$$ **النتيجة:** $$I = \frac{\pi}{4}$$ 4. **مسألة 4:** - التكامل: $$I = \int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^0 \cos(x^2 + y^2) \, dy \, dx$$ - نستخدم الإحداثيات القطبية: $$x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta$$ - المنطقة هي نصف دائرة أسفل محور $x$ من $y = -\sqrt{1-x^2}$ إلى 0 - الزوايا: $\theta$ من $-\frac{\pi}{2}$ إلى 0 - نصف القطر: $r$ من 0 إلى 1 - التكامل يصبح: $$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \int_0^1 \cos(r^2) r \, dr \, d\theta$$ - التكامل الداخلي: نغير المتغير: $u = r^2$, $du = 2r dr$, إذن $r dr = \frac{du}{2}$ $$\int_0^1 \cos(r^2) r \, dr = \frac{1}{2} \int_0^1 \cos(u) \, du = \frac{1}{2} [\sin(u)]_0^1 = \frac{\sin(1)}{2}$$ - التكامل الخارجي: $$\int_{-\frac{\pi}{2}}^0 d\theta = \frac{\pi}{2}$$ - إذن: $$I = \frac{\pi}{2} \times \frac{\sin(1)}{2} = \frac{\pi \sin(1)}{4}$$ **النتيجة:** $$I = \frac{\pi \sin(1)}{4}$$ 5. **مسألة 5:** - التكامل: $$I = \int_0^8 \int_{\sqrt{y}}^{4y} \sqrt{x^4 + 1} \, dx \, dy$$ - نعيد ترتيب حدود التكامل: - $x$ يتغير من $\sqrt{y}$ إلى $4y$ - $y$ من 0 إلى 8 - نحدد حدود التكامل المعكوسة: من $x \geq \sqrt{y} \Rightarrow y \leq x^2$ و $x \leq 4y \Rightarrow y \geq \frac{x}{4}$ - إذن $y$ يتغير من $\frac{x}{4}$ إلى $x^2$ - $x$ يتغير من 0 إلى 8 (لأن $y \leq 8$ و $y \geq \frac{x}{4}$) - التكامل المعكوس: $$I = \int_0^8 \int_{\frac{x}{4}}^{x^2} \sqrt{x^4 + 1} \, dy \, dx$$ - التكامل الداخلي بالنسبة لـ $y$: $$\int_{\frac{x}{4}}^{x^2} \sqrt{x^4 + 1} \, dy = \sqrt{x^4 + 1} \left( x^2 - \frac{x}{4} \right)$$ - إذن: $$I = \int_0^8 \sqrt{x^4 + 1} \left( x^2 - \frac{x}{4} \right) \, dx$$ - هذا هو التعبير النهائي للتكامل بعد عكس الترتيب. 6. **مسألة 6:** - حجم الجسم داخل الأسطوانة: $$x^2 + y^2 = 16$$ - تحت السطح: $$z = 2x^2 + 2y^2 = 2(x^2 + y^2)$$ - وفوق مستوى $xy$ (أي $z \geq 0$) - حجم الجسم: $$V = \iint_D z \, dA = \iint_D 2(x^2 + y^2) \, dA$$ - المنطقة $D$ هي دائرة نصف قطرها 4 - نستخدم الإحداثيات القطبية: $$x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta, \quad dA = r \, dr \, d\theta$$ - التكامل: $$V = \int_0^{2\pi} \int_0^4 2r^2 \times r \, dr \, d\theta = 2 \int_0^{2\pi} \int_0^4 r^3 \, dr \, d\theta$$ - التكامل الداخلي: $$\int_0^4 r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^4 = \frac{256}{4} = 64$$ - التكامل الخارجي: $$\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$$ - إذن: $$V = 2 \times 64 \times 2\pi = 256\pi$$ **النتيجة:** $$V = 256\pi$$