∫ calculus

1. **Stating the problem:** Differentiate the function $$L_0(x) = \frac{(x - x_1)(x - x_2)}{(x_0 - x_1)(x_0 - x_2)} = \frac{(x - (x_0 - h))(x - (x_0 - 2h))}{(-h)(-2h)}$$

1. Imagine you have a big row of candy 🍬🍬🍬🍬🍬 and you want to find out how many candies you get if you keep adding more and more candies step by step. 2. In math, adding step by ste

1. نبدأ بكتابة المعادلة المعطاة: $$\int_{\frac{1}{3}}^{a} 6e^{3x} \, dx = \int_{2}^{6a} \sqrt{e^x} \, dx$$

1. نبدأ بتحديد المسألة: نريد حساب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران $$f(x) = 12 - 6x$$ والمحور السيني وبين الخطين $$x=0$$ و $$x=4$$. 2. لحساب المساحة تحت المنحنى بين نقطتين

1. نبدأ بكتابة الدالة المعطاة: $$f(x) = -x^{-6} + \sqrt[3]{x^2} + 2$$. 2. نعيد كتابة الدالة بصيغة الأسس:

1. نبدأ بتحديد نقطة الانعطاف للأقتران $f(x) = x^3 - 6x^2 - 36x + 2$. 2. نقطة الانعطاف تحدث حيث يكون المشتق الثاني للأقتران يساوي صفرًا، أي حيث $f''(x) = 0$.

1. نبدأ بتحديد فترة التزايد للدالة $f(x) = \sin x - \cos x$ على الفترة $[0, \pi]$. 2. لحساب فترة التزايد، نحتاج إلى إيجاد مشتقة الدالة $f'(x)$:

1. نبدأ بكتابة المعطيات: لدينا الاقتران $$f(x) = 1 - \sqrt{x}$$ ونريد إيجاد إحداثي النقطة التي يكون عندها ميل المماس $$-\frac{1}{4}$$. 2. نعرف أن ميل المماس هو مشتقة الدالة عند الن

1. نبدأ بكتابة المعطى: الاقتران هو $$f(x) = \frac{1}{4} - 1 = -\sqrt{x}$$ ونريد إيجاد إحداثيات النقطة على المنحنى حيث يكون ميل المماس. 2. أولاً، نعيد كتابة الاقتران بشكل واضح: $$f(

1. نبدأ بقراءة المسألة: لدينا \( \int_3^6 2f(x) \, dx = 10 \) ونريد إيجاد قيمة \( \int_6^3 f(x) \, dx \). 2. نستخدم خاصية التكامل: \( \int_a^b k \cdot f(x) \, dx = k \int_a^b f(x)

1. نبدأ بكتابة المعطى: $$36 = \int_{1+3a}^{2+5a} 4 \, dx$$

1. **State the problem:** Given the curve defined by the equation $$x^3 + y^3 = 6xy$$, find the derivative $$\frac{dy}{dx}$$ using implicit differentiation. 2. **Recall the formula

1. **State the problem:** Find the slope of the tangent line to the curve defined by the implicit equation $$xy^2 - 2xy + x^2y = 0$$ at the point $$(x,y) = (1,1)$$. 2. **Recall the

1. **Problem:** Find the Laplace Transform of the function $f(t) = e^{-4t} \cos 3t + e^{-3t} t^3$. 2. **Formula and rules:**

1. Muammo: Agar $f^3(2x + 1) = x^3 + 3x + 4$ bo'lsa, $f'(3)$ ning qiymatini toping. 2. Bu yerda $f^3$ deganda $f$ funksiyaning kubi tushuniladi, ya'ni $f^3(t) = (f(t))^3$.

1. **State the problem:** Find the first derivative of the function $z = x^3 \log x$ with respect to $x$. 2. **Recall the formula:** To differentiate a product of two functions, us

1. The problem is to find the indefinite integral of the function $x^2 - 6x + 2$ with respect to $x$. 2. The formula for integrating a polynomial term $x^n$ is $$\int x^n dx = \fra

1. **Problem statement:** Find the second Taylor polynomial $P_2(x)$ for $f(x) = e^x \cos x$ about $x_0 = 0$. Use $P_2(0.5)$ to approximate $f(0.5)$, find an upper bound for the er

1. **State the problem:** Determine if the function $$f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$$ is continuous at $$x=2$$. 2. **Recall the definition of continuity at a point:** A function

1. **Problem statement:** Given the function $f(x) = 2x \cos(2x) - (x - 2)^2$ and $x_0 = 0$, find the third Taylor polynomial $P_3(x)$ around $x_0=0$ and use it to approximate $f(0

1. Problem: Calculate the derivative of the function \(f(x) = -5x^6 + 4x^3 - \frac{1}{2}x + 4\). 2. Formula: The derivative of a power function \(x^n\) is given by \(\frac{d}{dx}x^