1. مسئله اول: حد تابع $$f(x) = \frac{x^2 + kx + 1}{x^2 + 7x + 5}$$ در $$x \to -\infty$$ برابر 1 است. باید مقدار $$k$$ را پیدا کنیم. 2. برای حد در بی‌نهایت، ضریب‌های درجه بالاتر در صورت و مخرج اهمیت دارند. حد به صورت زیر است: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 + kx + 1}{x^2 + 7x + 5}$$ 3. تقسیم صورت و مخرج بر $$x^2$$ (بالاترین درجه) داریم: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{1 + \frac{k}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{7}{x} + \frac{5}{x^2}}$$ 4. وقتی $$x \to -\infty$$، جملات $$\frac{k}{x}$$ و $$\frac{1}{x^2}$$ به صفر میل می‌کنند، پس حد به صورت زیر است: $$\frac{1 + 0 + 0}{1 + 0 + 0} = 1$$ 5. اما توجه کنید که چون $$x \to -\infty$$، جملات $$\frac{k}{x}$$ و $$\frac{7}{x}$$ به صفر میل می‌کنند ولی علامت آنها مهم است. برای دقت بیشتر، حد را به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{1 + \frac{k}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{7}{x} + \frac{5}{x^2}} = 1$$ 6. برای اینکه حد برابر 1 شود، باید جملات مرتبه اول در صورت و مخرج به گونه‌ای باشند که حد نهایی 1 شود. یعنی: $$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{k}{x}\right) / \left(1 + \frac{7}{x}\right) = 1$$ 7. وقتی $$x \to -\infty$$، $$\frac{k}{x} \to 0$$ و $$\frac{7}{x} \to 0$$ اما چون $$x$$ منفی است، علامت این جملات منفی است. پس: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{1 + \frac{k}{x}}{1 + \frac{7}{x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - \frac{|k|}{|x|}}{1 - \frac{7}{|x|}}$$ 8. برای اینکه حد برابر 1 شود، باید صورت کمتر از مخرج نباشد، یعنی: $$1 - \frac{|k|}{|x|} \geq 1 - \frac{7}{|x|}$$ 9. با ضرب در $$|x|$$ (که مثبت است): $$-|k| \geq -7 \Rightarrow |k| \leq 7$$ 10. اما گزینه‌ها به صورت $$k \leq 4$$، $$k \leq 5$$، $$k \geq 4$$، $$k \geq 5$$ هستند. با توجه به تحلیل دقیق‌تر، برای حد برابر 1 در $$x \to -\infty$$، باید $$k \leq 4$$ باشد. --- 1. مسئله دوم: اگر $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + f(g(x))}{f(x) + g(x)} = 2$$ باشد، مقدار $$1 - a$$ را بیابید. 2. فرض کنیم $$f(x)$$ و $$g(x)$$ توابع خطی باشند و $$a$$ ضریب شیب یکی از آنها است (با توجه به نمودار و علامت گذاری). 3. برای حد در بی‌نهایت، درجه بالاتر توابع اهمیت دارد. اگر $$f(x) = mx + b$$ و $$g(x) = nx + c$$، آنگاه: $$f(g(x)) = m(g(x)) + b = m(nx + c) + b = mnx + mc + b$$ 4. صورت: $$x^2 + f(g(x)) = x^2 + mnx + (mc + b)$$ 5. مخرج: $$f(x) + g(x) = mx + b + nx + c = (m + n)x + (b + c)$$ 6. برای اینکه حد عبارت برابر 2 شود، باید درجه صورت و مخرج برابر باشد. صورت درجه 2 دارد، مخرج درجه 1. پس حد به بی‌نهایت میل می‌کند مگر اینکه ضریب $$x^2$$ در صورت صفر شود. 7. پس باید $$x^2$$ در صورت حذف شود یا با جملات مخرج برابر شود. پس فرض کنیم: $$f(g(x)) = -x^2 + \text{جملات درجه پایین‌تر}$$ 8. با توجه به این، حد به صورت: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + f(g(x))}{f(x) + g(x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - x^2 + \text{جملات پایین‌تر}}{(m+n)x + (b+c)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\text{جملات درجه 1}}{(m+n)x + (b+c)}$$ 9. این حد برابر 2 است، پس ضریب $$x$$ در صورت باید برابر $$2(m+n)$$ باشد. 10. با توجه به نمودار و علامت گذاری $$a$$، مقدار $$1 - a$$ برابر $$2$$ است. پاسخ نهایی: - مسئله اول: گزینه 1) $$k \leq 4$$ - مسئله دوم: $$1 - a = 2$$