1. مسئله: مقدار $a$ را بیابید به طوری که $$\lim_{x \to 1} \frac{1 - 2x}{2x^3 + a x - a - 2} = -\infty$$ 2. ابتدا صورت و مخرج را در $x=1$ بررسی می‌کنیم: صورت: $1 - 2(1) = 1 - 2 = -1$ مخرج: $2(1)^3 + a(1) - a - 2 = 2 + a - a - 2 = 0$ 3. چون مخرج در $x=1$ صفر می‌شود و صورت عددی غیر صفر است، حد به سمت بی‌نهایت یا منفی بی‌نهایت میل می‌کند. 4. برای تعیین علامت حد، مشتق مخرج را در $x=1$ محاسبه می‌کنیم: $$f(x) = 2x^3 + a x - a - 2$$ $$f'(x) = 6x^2 + a$$ 5. مقدار مشتق در $x=1$: $$f'(1) = 6(1)^2 + a = 6 + a$$ 6. چون صورت در $x=1$ منفی است ($-1$)، و حد به $-\infty$ میل می‌کند، مخرج باید از سمت راست به صفر مثبت و از سمت چپ به صفر منفی میل کند. بنابراین مشتق مخرج در $x=1$ باید مثبت باشد: $$6 + a > 0 \Rightarrow a > -6$$ 7. حال گزینه‌ها را بررسی می‌کنیم که مخرج در $x=1$ صفر شود و حد $-\infty$ باشد. چون مخرج در $x=1$ صفر است و مشتق مخرج مثبت، حد به $-\infty$ میل می‌کند. 8. گزینه‌ها: - $a = -6$ (مشتق $6 + (-6) = 0$، مشتق صفر است، حد نامعین) - $a = -4$ (مشتق $6 + (-4) = 2 > 0$، حد $-\infty$) - $a = 4$ (مشتق $6 + 4 = 10 > 0$، اما باید بررسی علامت) - $a = 6$ (مشتق $6 + 6 = 12 > 0$) 9. با توجه به صورت منفی و مشتق مثبت، حد به $-\infty$ میل می‌کند فقط برای $a = -4$. پاسخ نهایی: $a = -4$