1. نبدأ بكتابة الدالة المعطاة: $$f(x) = -x^{-6} + \sqrt[3]{x^2} + 2$$. 2. نعيد كتابة الدالة بصيغة الأسس: $$f(x) = -x^{-6} + x^{\frac{2}{3}} + 2$$. 3. نريد إيجاد التكامل غير المحدود: $$\int f(x) \, dx = \int \left(-x^{-6} + x^{\frac{2}{3}} + 2\right) dx$$. 4. نستخدم قاعدة التكامل لكل حد: - التكامل لـ $-x^{-6}$ هو: $$\int -x^{-6} dx = - \frac{x^{-6+1}}{-6+1} = - \frac{x^{-5}}{-5} = \frac{x^{-5}}{5}$$. - التكامل لـ $x^{\frac{2}{3}}$ هو: $$\int x^{\frac{2}{3}} dx = \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$$. - التكامل لـ $2$ هو: $$\int 2 dx = 2x$$. 5. نجمع النتائج معًا ونضيف ثابت التكامل $c$: $$\int f(x) dx = \frac{x^{-5}}{5} + \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + 2x + c$$. 6. نلاحظ أن الإجابة الصحيحة هي الخيار (b): $$x^{-7}/7 + 3/5 x^{5/3} + 2x + c$$ غير صحيحة لأن الأسس مختلفة. الإجابة الصحيحة هي: $$\frac{x^{-5}}{5} + \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + 2x + c$$ أي الخيار (d).