1. نبدأ بتحديد المسألة: نريد حساب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران $$f(x) = 12 - 6x$$ والمحور السيني وبين الخطين $$x=0$$ و $$x=4$$. 2. لحساب المساحة تحت المنحنى بين نقطتين على محور x، نستخدم التكامل المحدود: $$\text{Area} = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$$ حيث $$a=0$$ و $$b=4$$. 3. نحسب التكامل: $$\int_0^4 (12 - 6x) \, dx = \left[12x - 3x^2\right]_0^4$$ 4. نعوض حدود التكامل: $$= (12 \times 4 - 3 \times 4^2) - (12 \times 0 - 3 \times 0^2) = (48 - 48) - 0 = 0$$ 5. لاحظنا أن التكامل يعطي صفرًا لأن المنحنى يقطع محور x عند $$x=2$$، والمساحة المطلوبة هي مجموع المساحات فوق وتحت محور x بين 0 و4. 6. نحسب المساحة من 0 إلى 2 حيث $$f(x) > 0$$: $$\int_0^2 (12 - 6x) \, dx = \left[12x - 3x^2\right]_0^2 = (24 - 12) - 0 = 12$$ 7. نحسب المساحة من 2 إلى 4 حيث $$f(x) < 0$$: $$\int_2^4 (12 - 6x) \, dx = \left[12x - 3x^2\right]_2^4 = (48 - 48) - (24 - 12) = 0 - 12 = -12$$ 8. المساحة المحصورة هي مجموع القيم المطلقة للمساحات: $$12 + 12 = 24$$ 9. إذن، مساحة المنطقة المحصورة تساوي 24. الجواب النهائي: 24