1. **Énoncé du problème 1** : Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=3$ et $u_{n+1} = 3 - \frac{9}{4 u_n}$ est décroissante et minorée par $\frac{3}{2}$. En déduire la convergence. 2. **Vérification que $u_n$ est décroissante** : Calculons $u_{n+1} - u_n$ : $$ u_{n+1} - u_n = \left(3 - \frac{9}{4 u_n}\right) - u_n = 3 - u_n - \frac{9}{4 u_n}.$$ Considérons la fonction $f(x) = 3 - x - \frac{9}{4x}$ pour $x > 0$. 3. **Étude du signe de $f(x)$ pour $x \geq \frac{3}{2}$** : Calculons $f\left(\frac{3}{2}\right)$ : $$f\left(\frac{3}{2}\right) = 3 - \frac{3}{2} - \frac{9}{4 \times \frac{3}{2}} = 3 - 1.5 - \frac{9}{6} = 3 - 1.5 - 1.5 = 0.$$ Pour $x > \frac{3}{2}$, $f(x)$ diminue parce que la dérivée est négative (vérifié en recherchant le signe) donc $f(x) < 0$. Donc $u_{n+1} - u_n < 0$ pour $u_n > \frac{3}{2}$, donc la suite est décroissante dès que $u_n > \frac{3}{2}$. 4. **Montrer que $u_n$ est minorée par $\frac{3}{2}$** : Supposons par récurrence que $u_n \geq \frac{3}{2}$. Alors $$u_{n+1} = 3 - \frac{9}{4 u_n} \geq 3 - \frac{9}{4 \times \frac{3}{2}} = 3 - \frac{9}{6} = 3 - 1.5 = \frac{3}{2}.$$ Donc $u_n \geq \frac{3}{2}$ pour tout $n$, c'est-à-dire minorée par $\frac{3}{2}$. 5. **Conclusion pour la suite $(u_n)$** : Elle est décroissante et minorée, donc elle est convergente par le théorème des suites monotones. --- 6. **Énoncé du problème 2a** : Montrer que pour tout $k \geq 2$, $$k! \geq 2^{k-1}$$ et en déduire que la suite $v_n = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{n!}$ est majorée. 7. **Preuve par récurrence** : - Initialisation pour $k=2$ : $2! = 2 \geq 2^{1} = 2$ vraie. - Hypothèse de récurrence : supposons que $k! \geq 2^{k-1}$ pour un certain $k \geq 2$. - Montrons pour $k+1$ : $$ (k+1)! = (k+1) \times k! \geq (k+1) \times 2^{k-1}.$$ Or, pour $k \geq 2$, $k+1 \geq 3 > 2$, donc $$ (k+1) \times 2^{k-1} \geq 2 \times 2^{k-1} = 2^k.$$ Donc $ (k+1)! \geq 2^k$, ce qui conclut la récurrence. 8. **Majoration de $v_n$** : Pour $n \geq 2$ : $$\frac{1}{n!} \leq \frac{1}{2^{n-1}}.$$ Donc $$v_n \leq 1 + 1 + \sum_{k=2}^n \frac{1}{2^{k-1}} = 2 + \sum_{m=1}^{n-1} \frac{1}{2^m}.$$ La somme géométrique est bornée par $$\sum_{m=1}^\infty \frac{1}{2^m} = 1.$$ Ainsi, $$v_n \leq 2 + 1 = 3.$$ Donc $v_n$ est majorée par 3. --- 9. **Énoncé du problème 2b** : Montrer que $v_n$ est croissante et en déduire la convergence. 10. **Croissance de $v_n$** : On remarque $$v_{n+1} - v_n = \frac{1}{(n+1)!} > 0.$$ Donc $(v_n)$ est strictement croissante. 11. **Conclusion** : Cycle croissant et majoré implique convergence par le théorème des suites monotones. **Résumé** : - La suite $u_n$ est décroissante et minorée par $\frac{3}{2}$, donc convergente. - La suite $v_n$ est croissante et majorée, donc convergente.