1. Le problème demande de dresser le tableau de variation de la fonction $$f(x)=18\sqrt{x}-6x$$. 2. Pour étudier les variations, calculons la dérivée de $$f$$. $$f'(x) = 18 \times \frac{1}{2\sqrt{x}} - 6 = \frac{9}{\sqrt{x}} - 6$$ 3. Trouvons les points critiques en résolvant $$f'(x) = 0$$ : $$\frac{9}{\sqrt{x}} - 6 = 0 \implies \frac{9}{\sqrt{x}}=6 \implies \sqrt{x} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$$ $$x=\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = 2{,}25$$ 4. Étudions le signe de $$f'(x)$$ sur $$]0,+\infty[$$: - Pour $$x < 2{,}25$$, par exemple $$x=1$$ : $$f'(1) = 9 - 6 = 3 > 0$$ donc $$f$$ est croissante - Pour $$x > 2{,}25$$, par exemple $$x=4$$ : $$f'(4) = \frac{9}{2} - 6 = 4{,}5 - 6 = -1{,}5 < 0$$ donc $$f$$ est décroissante 5. Calculons la valeur de $$f$$ au point critique $$x= 2{,}25$$ : $$f(2{,}25) = 18 \sqrt{2{,}25} - 6 \times 2{,}25 = 18 \times \frac{3}{2} - 13{,}5 = 27 - 13{,}5 = 13{,}5$$ 6. Résumons dans le tableau de variation : $$\begin{array}{c|ccc} x & 0 & 2{,}25 & +\infty \\\hline f'(x) & + & 0 & - \\\hline f(x) & 0 & 13{,}5 & -\infty \end{array}$$ La fonction $$f$$ est croissante de 0 à 13,5 sur $$[0, 2{,}25]$$ puis décroissante ensuite.