1. Énoncé du problème : On considère la fonction $f(x) = \cos\left(\frac{1}{x^2}\right)$ pour $x \neq 0$. 2. Trouver $\inf_{x \neq 0} f(x)$ et $\sup_{x \neq 0} f(x)$. - La fonction cosinus varie toujours entre $-1$ et $1$ pour tout argument réel. - Ici l'argument est $\frac{1}{x^2}$, qui prend toutes les valeurs positives de $\infty$ à $0$ quand $x$ varie sur $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. - Ainsi, $f(x)$ prend toutes les valeurs possibles de $\cos$ en argument réel, donc toute la gamme $[-1,1]$. Donc: $$\inf_{x \neq 0} f(x) = -1$$ $$\sup_{x \neq 0} f(x) = 1$$ 3. Calculer $\liminf_{x \to 0} f(x)$ et $\limsup_{x \to 0} f(x)$. - Quand $x \to 0$, $\frac{1}{x^2} \to +\infty$. - Le terme $\cos\left(\frac{1}{x^2}\right)$ oscille rapidement entre $-1$ et $1$ sans se stabiliser. - Par définition, $\liminf$ est la borne inférieure des valeurs d'adhérence, et $\limsup$ la borne supérieure. - Ici, les valeurs d'adhérence de $f(x)$ lorsque $x \to 0$ couvrent tout l'intervalle $[-1,1]$. Ainsi: $$\liminf_{x \to 0} f(x) = -1$$ $$\limsup_{x \to 0} f(x) = 1$$ Réponse finale : - $\inf_{x \neq 0} f(x) = -1$ - $\sup_{x \neq 0} f(x) = 1$ - $\liminf_{x \to 0} f(x) = -1$ - $\limsup_{x \to 0} f(x) = 1$