1. Énonçons le problème : Trouver un équivalent simple en $a$ des fonctions : $$f(x) = \ln(\cosh x), \quad a=0$$ $$g(x) = \frac{2\cos x - x \tan x}{\sin^3 x}, \quad a=0$$ $$h(x) = x \ln\left(1 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right), \quad a = +\infty$$ 2. Fonction $f(x) = \ln(\cosh x)$ en $a=0$ : - Rappelons que $\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2} + o(x^2)$ quand $x \rightarrow 0$. - Donc $\ln(\cosh x) = \ln\left(1 + \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right)$. - En utilisant $\ln(1+u) \sim u$ quand $u \rightarrow 0$, on a: $$\ln(\cosh x) \sim \frac{x^2}{2} \text{ quand } x \to 0.$$ Ainsi un équivalent simple de $f(x)$ en $0$ est $\boxed{\frac{x^2}{2}}$. 3. Fonction $g(x) = \frac{2\cos x - x \tan x}{\sin^3 x}$ en $a=0$ : - Développons les fonctions autour de $0$: - $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$. - $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$. - $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5)$. - Calculons le numérateur: $$2\cos x - x \tan x = 2\left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\right) - x \left(x + \frac{x^3}{3}\right) + o(x^4)$$ $$= 2 - x^2 + \frac{x^4}{12} - x^2 - \frac{x^4}{3} + o(x^4)$$ $$= 2 - 2x^2 - \frac{x^4}{4} + o(x^4)$$ - Calculons $\sin^3 x$: $$\sin^3 x = \left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right)^3$$ $$= x^3 - 3 x^5/6 + o(x^5) = x^3 - \frac{x^5}{2} + o(x^5)$$ - Donc: $$g(x) = \frac{2 - 2x^2 - \frac{x^4}{4} + o(x^4)}{x^3 - \frac{x^5}{2} + o(x^5)} = \frac{2}{x^3} - \frac{2 x^2}{x^3} - \frac{x^4}{4 x^3} + o\left(\frac{1}{x^3}\right)$$ $$= \frac{2}{x^3} - \frac{2}{x} - \frac{x}{4} + o\left(\frac{1}{x^3}\right)$$ L'équivalent dominant en $0$ est donc: $$\boxed{ \frac{2}{x^3} }$$ 4. Fonction $h(x) = x \ln\left(1 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)$ quand $x \to +\infty$ : - Posons $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$ qui tend vers $0$ quand $x \to +\infty$. - Rappel: $\ln(1+u) \sim u$ pour $u \to 0$. - Donc: $$h(x) \sim x \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{1 - \frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$$ Ainsi un équivalent simple en $+\infty$ est: $$\boxed{\sqrt{x}}$$