1. **Problemstellung:** Gegeben sind die Funktionen: $$f(x)=\frac{1}{4}x^2 + x + 3$$ $$g(x)=-\frac{1}{4}(x-2)^2 + 4$$ $$h(x)=-\frac{1}{4}(x+2)(x-6)$$ Wir sollen für a) die Graphen für $-4 \leq x \leq 8$ zeichnen, b) die Scheitelpunkte und Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen angeben und vergleichen, c) prüfen, ob der Punkt $P(10|-8)$ auf $f$ liegt. 2. **Teil a) Graphen Zeichnen:** - Die Funktionen sind quadratische Funktionen mit Parabeln. - $f$ ist eine Parabel nach oben geöffnet (weil der Koeffizient von $x^2$ positiv ist). - $g$ ist in Scheitelpunktform und nach unten geöffnet. - $h$ ist Produktform einer Parabel, ebenfalls nach unten geöffnet. 3. **Teil b) Scheitelpunkte und Schnittpunkte:** - Für $f(x) = \frac{1}{4}x^2 + x + 3$: - Scheitelpunkt: $$x_{S_f} = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot \frac{1}{4}} = -2$$ $$y_{S_f} = f(-2) = \frac{1}{4}(-2)^2 + (-2) + 3 = \frac{1}{4} \cdot 4 - 2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$$ Also Scheitelpunkt $S_f(-2, 2)$. - Schnittpunkte mit $y$-Achse: $x=0$: $$f(0) = 3$$ Also $ (0,3)$. - Schnittpunkte mit $x$-Achse (Nullstellen): $$\frac{1}{4}x^2 + x + 3 = 0 \Rightarrow x^2 + 4x + 12 = 0$$ Diskriminante: $$\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 16 - 48 = -32 < 0$$ Keine reellen Nullstellen. - Für $g(x) = -\frac{1}{4}(x-2)^2 + 4$: - Scheitelpunkt ist hier direkt ablesbar: $$S_g(2,4)$$ - Schnittpunkt mit $y$-Achse: $x=0$ $$g(0) = -\frac{1}{4}(0-2)^2 + 4 = -\frac{1}{4} \cdot 4 + 4 = -1 + 4 = 3$$ Punkt $(0,3)$. - Schnittpunkt mit $x$-Achse: $$-rac{1}{4}(x-2)^2 + 4 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 = 16 \Rightarrow x-2 = \pm 4$$ $$x = 2 \pm 4 \Rightarrow x = -2, 6$$ Nullstellen bei $(-2,0)$ und $(6,0)$. - Für $h(x) = -\frac{1}{4}(x+2)(x-6)$: - Diese Form zeigt schon die Nullstellen: $$x = -2, \quad x = 6$$ - Scheitelpunkt berechnen: - Mitte der Nullstellen: $$x_S = \frac{-2 + 6}{2} = 2$$ - Wert an $x=2$: $$h(2) = -\frac{1}{4} (2+2)(2-6) = -\frac{1}{4} \cdot 4 \cdot (-4) = -\frac{1}{4} \cdot (-16) = 4$$ Scheitelpunkt $S_h(2,4)$ - Schnittpunkt mit $y$-Achse: $$h(0) = -\frac{1}{4} (0+2)(0-6) = -\frac{1}{4} \cdot 2 \cdot (-6) = -\frac{1}{4} \cdot (-12) = 3$$ Punkt $(0,3)$. 4. **Vergleich:** - Alle drei Funktionen schneiden die $y$-Achse bei $(0,3)$. - $g$ und $h$ haben identischen Scheitelpunkt bei $(2,4)$. - $f$ öffnet nach oben und hat keinen $x$-Achsen-Schnittpunkt, $g$ und $h$ öffnen nach unten und haben zwei Nullstellen. 5. **Teil c) Punktprüfung $P(10, -8)$ auf $f$:** - Setze $x=10$ in $f(x)$ ein: $$f(10) = \frac{1}{4} \cdot 10^2 + 10 + 3 = \frac{1}{4} \cdot 100 + 10 + 3 = 25 + 10 + 3 = 38$$ - Da $38 \neq -8$, liegt $P$ nicht auf dem Graphen von $f$. **Endergebnis:** - Scheitelpunkte: $S_f(-2,2)$, $S_g(2,4)$, $S_h(2,4)$ - Schnittpunkte $y$-Achse bei $(0,3)$ für alle - Nullstellen bei $g$ und $h$: $(-2,0)$ und $(6,0)$ - Punkt $P(10, -8)$ nicht auf $f$.