1. Énoncé du problème : Calculer l'infimum et le supremum de la fonction $$f(x) = \cos\left(\frac{1}{x^2}\right)$$ pour $$x \neq 0$$ et calculer les limites inférieure et supérieure de $$f(x)$$ lorsque $$x \to 0$$. 2. Étude de $$\inf_{x \neq 0} f(x)$$ et $$\sup_{x \neq 0} f(x)$$ : - La fonction $$\cos(t)$$ prend toutes les valeurs entre $$-1$$ et $$1$$. - Comme $$\frac{1}{x^2}$$ parcourt $$]0,+\infty[$$ lorsque $$x \neq 0$$ se rapproche de 0 ou tend vers $$\pm \infty$$, les valeurs de $$\cos\left(\frac{1}{x^2}\right)$$ balayeront tous les nombres dans l'intervalle $$[-1,1]$$. - Ainsi, $$\inf_{x \neq 0} f(x) = -1$$ $$\sup_{x \neq 0} f(x) = 1$$. 3. Calcul de $$\liminf_{x \to 0} f(x)$$ et $$\limsup_{x \to 0} f(x)$$ : - Lorsque $$x \to 0$$, $$\frac{1}{x^2} \to +\infty$$. - La fonction $$\cos(t)$$ ne converge pas quand $$t \to +\infty$$. Elle oscille entre $$-1$$ et $$1$$. - Par définition, la limite inférieure (lim inf) est la borne inférieure des valeurs d'accumulation, donc $$\liminf_{x \to 0} f(x) = -1$$. - La limite supérieure (lim sup) est la borne supérieure des valeurs d'accumulation, donc $$\limsup_{x \to 0} f(x) = 1$$. 4. Résumé final : - $$\inf_{x \neq 0} f(x) = -1$$ - $$\sup_{x \neq 0} f(x) = 1$$ - $$\liminf_{x \to 0} f(x) = -1$$ - $$\limsup_{x \to 0} f(x) = 1$$