📘 analyse, algèbre

1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux exercices.

1. Énoncé du problème : Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}^{*-}$, on a $x + \frac{1}{x} \leq -2$. 2. Preuve de l'inégalité $x + \frac{1}{x} \leq -2$ pour $x<0$ :

1. **Comparer les nombres** $\sqrt{5}$ et $\sqrt{3}$. On sait que $5 > 3$, donc $\sqrt{5} > \sqrt{3}$.

1. **Énoncé du problème :** On considère l'application $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x,y) = (x+y, yx)$.

1. Calculer les limites suivantes : **Problème 1.1 :** $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt[4]{x + 3} - 2x}{\sqrt[3]{x^3 - 3} + 1}$$

1. **Énoncé du problème 1.1 :** Montrer que pour $a,b>0$, $$\left(a^{2} + a^{\frac{4}{3}} b^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} + \left(b^{2} + a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{4}{3}}\right

1. Calculer les limites suivantes : 1.1. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 + x - 2x}{\sqrt[3]{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - x}{x^{1/3}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{x^

1. **Énoncé du problème :** Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction définie par