1. Calculer les limites suivantes : **Problème 1.1 :** $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt[4]{x + 3} - 2x}{\sqrt[3]{x^3 - 3} + 1}$$ - Pour $x \to +\infty$, on analyse le comportement des termes dominants. - $\sqrt[4]{x+3} \sim x^{1/4}$, $2x$ est dominant, $\sqrt[3]{x^3 - 3} \sim x$. - Le numérateur est $x^{1/4} - 2x \sim -2x$ (car $2x$ domine). - Le dénominateur est $x + 1 \sim x$. - Donc la limite est $\lim_{x \to +\infty} \frac{-2x}{x} = -2$. **Problème 1.2 :** $$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{3x - 5} - 1}{x^2 - 4}$$ - Calculons la limite en remplaçant $x=2$ : - Numérateur : $\sqrt[3]{3\times 2 - 5} - 1 = \sqrt[3]{1} - 1 = 0$. - Dénominateur : $2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$. - Forme indéterminée $\frac{0}{0}$, on applique la règle de l'Hôpital. - Dérivées : - Numérateur : $\frac{d}{dx} \sqrt[3]{3x - 5} = \frac{1}{3}(3x - 5)^{-2/3} \times 3 = (3x - 5)^{-2/3}$. - Dénominateur : $\frac{d}{dx} (x^2 - 4) = 2x$. - Limite dérivée : $\lim_{x \to 2} \frac{(3x - 5)^{-2/3}}{2x} = \frac{(6 - 5)^{-2/3}}{4} = \frac{1^{-2/3}}{4} = \frac{1}{4}$. **Problème 1.3 :** $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt[3]{x^2 + x} - 2x}{x + 3}$$ - Pour $x \to +\infty$, $\sqrt[3]{x^2 + x} = (x^2 + x)^{1/3} = x^{2/3}(1 + \frac{1}{x})^{1/3}$. - $x^{2/3}$ croît plus lentement que $x$, donc $\sqrt[3]{x^2 + x} - 2x \sim -2x$. - Dénominateur $x + 3 \sim x$. - Limite : $\lim_{x \to +\infty} \frac{-2x}{x} = -2$. **Problème 1.4 :** $$\lim_{x \to -\infty} x + \sqrt{4x^2 + 1}$$ - Pour $x \to -\infty$, $\sqrt{4x^2 + 1} = 2|x| \sqrt{1 + \frac{1}{4x^2}} \sim 2|x|$. - Comme $x$ est négatif, $|x| = -x$. - Donc $x + \sqrt{4x^2 + 1} \sim x + 2(-x) = x - 2x = -x$. - Comme $x \to -\infty$, $-x \to +\infty$. - Donc la limite est $+\infty$. 2. Simplifier $A = \frac{\sqrt{\sqrt{3}} \times \sqrt[3]{3}}{\sqrt[4]{27}}$, puis montrer que $B < A < C$ avec $B = \sqrt[4]{2}$ et $C = \sqrt[3]{5}$. - Exprimons chaque terme en puissance de 3 : - $\sqrt{\sqrt{3}} = (3^{1/2})^{1/2} = 3^{1/4}$. - $\sqrt[3]{3} = 3^{1/3}$. - $\sqrt[4]{27} = (3^3)^{1/4} = 3^{3/4}$. - Donc $A = \frac{3^{1/4} \times 3^{1/3}}{3^{3/4}} = 3^{1/4 + 1/3 - 3/4} = 3^{(1/4 + 1/3 - 3/4)}$. - Calculons l'exposant : - $1/4 + 1/3 = 3/12 + 4/12 = 7/12$. - $7/12 - 3/4 = 7/12 - 9/12 = -2/12 = -1/6$. - Donc $A = 3^{-1/6} = \frac{1}{3^{1/6}}$. - $B = 2^{1/4}$, $C = 5^{1/3}$. - Montrons $B < A < C$ : - $B < A \iff 2^{1/4} < 3^{-1/6} = \frac{1}{3^{1/6}}$. - Inverse : $2^{1/4} < \frac{1}{3^{1/6}} \iff 2^{1/4} \times 3^{1/6} < 1$. - Calculons approximativement : - $2^{1/4} \approx 1.189$. - $3^{1/6} = (3^{1/3})^{1/2} \approx (1.442)^{1/2} \approx 1.201$. - Produit $\approx 1.189 \times 1.201 = 1.428 > 1$. - Donc $B < A$ est faux, revérifions l'inégalité. - En fait, $A = 3^{-1/6} = 1 / 3^{1/6} \approx 1 / 1.201 = 0.832$. - $B = 2^{1/4} \approx 1.189$. - Donc $A < B$. - Pour $A < C$ : - $0.832 < 5^{1/3} \approx 1.710$ est vrai. - Conclusion : $A < B < C$. 3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ : **Équation 3.1 :** $$\sqrt[3]{2x - 1} - \sqrt{x} = 0$$ - Posons $y = \sqrt[3]{2x - 1} = \sqrt{x}$. - Élevons au cube : $y^3 = 2x - 1$. - Élevons au carré : $y^2 = x$. - Remplaçons $x$ par $y^2$ dans la première : - $y^3 = 2y^2 - 1$. - Réarrangeons : - $y^3 - 2y^2 + 1 = 0$. - Cherchons racines rationnelles : - Testons $y=1$: $1 - 2 + 1 = 0$, racine. - Factorisation : - $(y - 1)(y^2 - y - 1) = 0$. - Solutions pour $y$ : - $y = 1$. - $y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. - Comme $y = \sqrt{x} \geq 0$, on garde $y=1$ et $y = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} > 0$. - Trouvons $x$ : - Pour $y=1$, $x = y^2 = 1$. - Pour $y=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, $x = y^2 = \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^2$. - Vérifions que $2x - 1 = y^3$ pour ces valeurs. **Équation 3.2 :** $$\sqrt[4]{x^2} - 5 \sqrt[4]{x} + 6 = 0$$ - Posons $t = \sqrt[4]{x} \geq 0$. - Alors $\sqrt[4]{x^2} = (\sqrt[4]{x})^2 = t^2$. - L'équation devient : - $t^2 - 5t + 6 = 0$. - Résolvons : - $(t - 2)(t - 3) = 0$. - Solutions : $t = 2$ ou $t = 3$. - Comme $t = \sqrt[4]{x}$, on a : - $x = t^4$. - Donc $x = 2^4 = 16$ ou $x = 3^4 = 81$. **Réponses finales :** - Limites : - 1.1 : $-2$ - 1.2 : $\frac{1}{4}$ - 1.3 : $-2$ - 1.4 : $+\infty$ - Inégalités : $A = 3^{-1/6} \approx 0.832$, $B = 2^{1/4} \approx 1.189$, $C = 5^{1/3} \approx 1.710$, donc $A < B < C$. - Solutions des équations : - $\sqrt[3]{2x - 1} - \sqrt{x} = 0$ a pour solutions $x = 1$ et $x = \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^2$. - $\sqrt[4]{x^2} - 5 \sqrt[4]{x} + 6 = 0$ a pour solutions $x = 16$ et $x = 81$.