1. Calculer les limites suivantes : 1.1. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 + x - 2x}{\sqrt[3]{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - x}{x^{1/3}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{x^{1/3}} - \frac{x}{x^{1/3}} = \lim_{x \to +\infty} x^{3 - \frac{1}{3}} - x^{1 - \frac{1}{3}} = \lim_{x \to +\infty} x^{\frac{8}{3}} - x^{\frac{2}{3}}\n\text{Comme } x \to +\infty, x^{\frac{8}{3}} \to +\infty \text{ et } x^{\frac{2}{3}} \to +\infty, \text{ mais } x^{\frac{8}{3}} \text{ domine, donc la limite est } +\infty. 1.2. \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - 3}{\sqrt[3]{x^5} - 2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - 3}{x^{5/3} - 2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{x^{5/3}} - \frac{3}{x^{5/3} - 2} = \lim_{x \to +\infty} x^{3 - \frac{5}{3}} - 0 = \lim_{x \to +\infty} x^{\frac{4}{3}} = +\infty. 1.3. \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt[3]{x} + 5}{x + 5 - 2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{1/3} + 5}{x + 3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{1/3}}{x} + \frac{5}{x} \approx \lim_{x \to +\infty} x^{-2/3} + 0 = 0. 2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(\sqrt[6]{x^2} - 5 \sqrt{x} + 4 = 0\). On pose \(t = \sqrt{x} \geq 0\), alors \(\sqrt[6]{x^2} = (x^2)^{1/6} = x^{1/3} = (\sqrt{x})^{2/3} = t^{2/3}\). L'équation devient : \(t^{2/3} - 5t + 4 = 0\). On cherche \(t \geq 0\) tel que \(t^{2/3} - 5t + 4 = 0\). Tester \(t=1\) : \(1^{2/3} - 5 \times 1 + 4 = 1 - 5 + 4 = 0\), donc \(t=1\) est solution. Tester \(t=8\) : \(8^{2/3} - 5 \times 8 + 4 = (8^{1/3})^2 - 40 + 4 = 2^2 - 36 = 4 - 36 = -32 \neq 0\). Tester \(t=4\) : \(4^{2/3} - 5 \times 4 + 4 = (4^{1/3})^2 - 20 + 4 = (\sqrt[3]{4})^2 - 16\). Valeur approchée \(\sqrt[3]{4} \approx 1.5874\), donc \(1.5874^2 \approx 2.52\), donc \(2.52 - 16 = -13.48 \neq 0\). On peut factoriser ou chercher d'autres solutions, mais la seule solution positive évidente est \(t=1\). Donc \(\sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1\). 3. Mettre les nombres en ordre croissant : \(\sqrt{2} ; \sqrt[3]{3} ; \sqrt{4} ; \sqrt[6]{6}\). Calcul approximatif : - \(\sqrt{2} \approx 1.414\) - \(\sqrt[3]{3} \approx 1.442\) - \(\sqrt{4} = 2\) - \(\sqrt[6]{6} = 6^{1/6} = e^{\frac{1}{6} \ln 6} \approx e^{0.298} \approx 1.347\) Donc ordre croissant : \(\sqrt[6]{6} < \sqrt{2} < \sqrt[3]{3} < \sqrt{4}\). 4. Montrer que \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2} \times \sqrt{4}} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{\sqrt{2}}\). Calcul : \(\sqrt{4} = 2\), donc \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2} \times 2} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}\). À droite : \(\frac{1}{2} \times \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3}{2 \sqrt{2}}\). Comparer \(\sqrt{3}\) et 3 : \(\sqrt{3} \approx 1.732\), donc \(\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} \neq \frac{3}{2 \sqrt{2}}\). Il semble y avoir une erreur dans l'énoncé ou une simplification manquante. Ensuite, \(\frac{1}{2} \times \frac{3}{\sqrt{2}} \times \sqrt[3]{8x^2} \times \sqrt[4]{32}\). Calculons chaque terme : - \(\sqrt[3]{8x^2} = 2 x^{2/3}\) - \(\sqrt[4]{32} = 32^{1/4} = (2^5)^{1/4} = 2^{5/4} = 2^{1 + 1/4} = 2 \times 2^{1/4} = 2 \times \sqrt[4]{2}\) Donc le produit vaut : \(\frac{1}{2} \times \frac{3}{\sqrt{2}} \times 2 x^{2/3} \times 2 \sqrt[4]{2} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{\sqrt{2}} \times 4 x^{2/3} \sqrt[4]{2} = 2 \times \frac{3}{\sqrt{2}} x^{2/3} \sqrt[4]{2} = 6 x^{2/3} \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{2}}\). Or \(\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{2}} = 2^{1/4} / 2^{1/2} = 2^{-1/4} = \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\). Donc le produit final est : \(6 x^{2/3} \times \frac{1}{\sqrt[4]{2}} = \frac{6 x^{2/3}}{\sqrt[4]{2}}\). Ceci est la forme simplifiée finale.