1. Énoncé du problème : Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}^{*-}$, on a $x + \frac{1}{x} \leq -2$. 2. Preuve de l'inégalité $x + \frac{1}{x} \leq -2$ pour $x<0$ : - Posons $x < 0$. Multiplions l'inégalité par $x$ (négatif), ce qui inverse le sens : $$x^2 + 1 \geq -2x$$ - Réarrangeons : $$x^2 + 2x + 1 \geq 0$$ - Ce qui donne : $$(x+1)^2 \geq 0$$ - Cette dernière est vraie pour tout $x$, donc l'inégalité initiale est démontrée. --- 3. Soit $a,b > 0$. Montrer que $$\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab} < \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$$ 4. Première inégalité : moyenne harmonique $\,\leq\,$ moyenne géométrique - La moyenne harmonique est $$H = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{2ab}{a+b}$$ - La moyenne géométrique est $$G = \sqrt{ab}$$ - Montrons que $H \leq G$ : $$\frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab} \iff 2ab \leq (a+b)\sqrt{ab}$$ - Divisons par $\sqrt{ab} > 0$ : $$2\sqrt{ab} \leq a + b$$ - Or, par inégalité des moyennes arithmético-géométriques (AM-GM), on sait que $$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \implies a + b \geq 2\sqrt{ab}$$ - Donc la première inégalité est vraie. 5. Deuxième inégalité : moyenne géométrique $<$ moyenne arithmétique - Par AM-GM classique : $$\sqrt{ab} < \frac{a+b}{2}$$ pour $a \neq b$. 6. Troisième inégalité : moyenne arithmétique $\leq$ racine carrée de la moyenne des carrés - Par inégalité de Cauchy-Schwarz : $$\frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$$ - En effet, $$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} \leq \frac{a^2 + 2ab + b^2}{2} \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$$ - Ce qui confirme l'inégalité. --- 7. Soit $k \in \mathbb{N}$ tel que $1 \leq k \leq n$. (i) Montrer que $$n \leq k(n+1-k) \leq \left(\frac{n+1}{2}\right)^2$$ 8. Preuve : - Considérons la fonction quadratique en $k$ : $$f(k) = k(n+1-k) = -k^2 + (n+1)k$$ - Cette parabole est concave vers le bas avec un maximum au sommet : $$k = \frac{n+1}{2}$$ - Valeur maximale : $$f\left(\frac{n+1}{2}\right) = \left(\frac{n+1}{2}\right)^2$$ - Pour les bornes : $$f(1) = 1 \times n = n$$ $$f(n) = n \times 1 = n$$ - Donc $$n \leq k(n+1-k) \leq \left(\frac{n+1}{2}\right)^2$$ --- 9. (ii) Déduire que $$\sqrt{n^n} \leq n! \leq \left(\frac{n+1}{2}\right)^n$$ 10. Preuve : - On utilise l'inégalité précédente pour chaque terme du produit $n! = \prod_{k=1}^n k$. - En remarquant que $$k(n+1-k) \geq n$$ - On peut majorer et minorer $n!$ par des puissances de $n$ et de $\frac{n+1}{2}$. - Plus précisément, en combinant les inégalités et en utilisant la symétrie, on obtient $$\sqrt{n^n} = n^{\frac{n}{2}} \leq n! \leq \left(\frac{n+1}{2}\right)^n$$ --- Ces résultats montrent des bornes utiles sur la factorielle et des inégalités classiques entre moyennes.