1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux exercices. **Exercice 1 :** Étudier la fonction $$f(x) = \frac{x^3 - 3x + 2}{x^2}$$ définie sur $$D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}$$. **Exercice 2 :** Étudier la suite définie par $$U_0 = \frac{9}{2}$$ et $$U_{n+1} = \frac{10U_n - 16}{U_n + 2}$$. --- ### Exercice 1 2. **Déterminer le domaine de définition $$D_f$$ :** La fonction est définie pour tous les $$x \neq 0$$ car le dénominateur $$x^2$$ ne doit pas être nul. $$D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}$$ 3. **Calcul des limites en 0 :** - $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^3 - 3x + 2}{x^2}$$ - $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{x^3 - 3x + 2}{x^2}$$ On peut écrire : $$f(x) = \frac{x^3}{x^2} - \frac{3x}{x^2} + \frac{2}{x^2} = x - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}$$ Quand $$x \to 0^+$$ : - $$x \to 0^+$$ - $$-\frac{3}{x} \to -\infty$$ - $$\frac{2}{x^2} \to +\infty$$ La limite est dominée par $$\frac{2}{x^2} \to +\infty$$ donc $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$$ Quand $$x \to 0^-$$ : - $$x \to 0^-$$ - $$-\frac{3}{x} \to +\infty$$ - $$\frac{2}{x^2} \to +\infty$$ Donc $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = +\infty$$ **Interprétation géométrique :** La courbe a une branche infinie verticale en $$x=0$$. 4. **Limites en $$+\infty$$ et $$-\infty$$ :** Pour $$x \to \pm \infty$$, on divise numérateur et dénominateur par $$x^2$$ : $$f(x) = \frac{x^3 - 3x + 2}{x^2} = x - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}$$ Donc $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$ $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$$ 5. **Montrer que la droite $$y = x$$ est une asymptote oblique :** On pose $$f(x) - x = -\frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}$$ Quand $$x \to \pm \infty$$, $$f(x) - x \to 0$$ donc la droite $$y = x$$ est asymptote oblique. 6. **Étudier la position relative de $$f$$ par rapport à $$y = x$$ :** $$f(x) - x = -\frac{3}{x} + \frac{2}{x^2} = \frac{-3x + 2}{x^2}$$ - Pour $$x > 0$$, le signe dépend de $$-3x + 2$$ : - Si $$x < \frac{2}{3}$$, $$f(x) - x > 0$$ donc $$f(x) > x$$ - Si $$x > \frac{2}{3}$$, $$f(x) - x < 0$$ donc $$f(x) < x$$ - Pour $$x < 0$$, $$x^2 > 0$$ et $$-3x + 2 > 0$$ car $$-3x$$ est positif, donc $$f(x) - x > 0$$ donc $$f(x) > x$$ 7. **Calcul de la dérivée $$f'(x)$$ :** $$f(x) = \frac{x^3 - 3x + 2}{x^2}$$ Utilisons la dérivée d'un quotient : $$f'(x) = \frac{(3x^2 - 3) x^2 - (x^3 - 3x + 2) 2x}{x^4}$$ Simplifions le numérateur : $$= \frac{(3x^2 - 3) x^2 - 2x (x^3 - 3x + 2)}{x^4} = \frac{3x^4 - 3x^2 - 2x^4 + 6x^2 - 4x}{x^4}$$ $$= \frac{x^4 + 3x^2 - 4x}{x^4} = \frac{x(x^3 + 3x - 4)}{x^4} = \frac{x^3 + 3x - 4}{x^3}$$ Factorisons $$x^3 + 3x - 4$$ : Testons $$x=1$$ : $$1 + 3 - 4 = 0$$ donc $$x-1$$ est un facteur. Division : $$x^3 + 3x - 4 = (x-1)(x^2 + x + 4)$$ Donc $$f'(x) = \frac{(x-1)(x^2 + x + 4)}{x^3}$$ 8. **Étudier les variations de $$f$$ :** - Le polynôme $$x^2 + x + 4$$ est toujours positif car discriminant négatif. - Le signe de $$f'(x)$$ dépend donc de $$\frac{x-1}{x^3}$$. - Pour $$x > 0$$ : - Si $$x < 1$$, $$x-1 < 0$$ et $$x^3 > 0$$ donc $$f'(x) < 0$$ - Si $$x > 1$$, $$f'(x) > 0$$ - Pour $$x < 0$$ : $$x^3 < 0$$ - Si $$x < 1$$ (toujours vrai), $$x-1 < 0$$ donc $$f'(x) = \frac{\text{négatif} \times \text{positif}}{\text{négatif}} = \text{positif}$$ Donc $$f$$ est croissante sur $$(-\infty, 0)$$, décroissante sur $$(0,1)$$, croissante sur $$(1, +\infty)$$. 9. **Calcul de la dérivée seconde $$f''(x)$$ :** $$f'(x) = \frac{x^3 + 3x - 4}{x^3}$$ Dérivons : $$f''(x) = \frac{(3x^2 + 3) x^3 - (x^3 + 3x - 4) 3x^2}{x^6}$$ Simplifions le numérateur : $$= \frac{3x^5 + 3x^3 - 3x^5 - 9x^3 + 12x^2}{x^6} = \frac{-6x^3 + 12x^2}{x^6} = \frac{-6x + 12}{x^4}$$ 10. **Étudier la concavité et point d'inflexion :** $$f''(x) = \frac{-6x + 12}{x^4}$$ - Le dénominateur est toujours positif. - Le signe dépend de $$-6x + 12 = 6(2 - x)$$ Donc : - Pour $$x < 2$$, $$f''(x) > 0$$ (concave vers le haut) - Pour $$x > 2$$, $$f''(x) < 0$$ (concave vers le bas) Le point d'inflexion est en $$x=2$$. Calculons $$f(2)$$ : $$f(2) = \frac{8 - 6 + 2}{4} = \frac{4}{4} = 1$$ Donc point d'inflexion $$H(2,1)$$. 11. **Calcul de $$f(1)$$ et $$f(-2)$$ :** $$f(1) = \frac{1 - 3 + 2}{1} = 0$$ $$f(-2) = \frac{-8 + 6 + 2}{4} = 0$$ Donc les points d'intersection avec l'axe des abscisses sont $$x=1$$ et $$x=-2$$. 12. **Montrer que $$f$$ admet une fonction réciproque sur $$]-\infty, 0[$$ :** Sur $$]-\infty, 0[$$, $$f$$ est strictement croissante (car $$f' > 0$$), donc injective. L'image de $$]-\infty, 0[$$ par $$f$$ est un intervalle $$J$$ à déterminer par les limites : $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$$ et $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = +\infty$$ Donc $$J = \mathbb{R}$$. --- ### Exercice 2 1. **Calcul de $$U_1$$ :** $$U_1 = \frac{10 U_0 - 16}{U_0 + 2} = \frac{10 \times \frac{9}{2} - 16}{\frac{9}{2} + 2} = \frac{45 - 16}{\frac{13}{2}} = \frac{29}{\frac{13}{2}} = \frac{29 \times 2}{13} = \frac{58}{13}$$ 2. **Montrer par récurrence que $$U_n > 4$$ :** - Initialisation : $$U_0 = 4.5 > 4$$ - Hypothèse : $$U_n > 4$$ - Montrer $$U_{n+1} > 4$$ : $$U_{n+1} - 4 = \frac{10 U_n - 16}{U_n + 2} - 4 = \frac{10 U_n - 16 - 4(U_n + 2)}{U_n + 2} = \frac{10 U_n - 16 - 4 U_n - 8}{U_n + 2} = \frac{6 U_n - 24}{U_n + 2} = \frac{6(U_n - 4)}{U_n + 2}$$ Par hypothèse, $$U_n - 4 > 0$$ et $$U_n + 2 > 0$$ donc $$U_{n+1} - 4 > 0$$. 3. **Montrer que $$U_{n+1} - U_n = -\frac{(U_n - 4)^2}{U_n + 2}$$ :** Calculons : $$U_{n+1} - U_n = \frac{10 U_n - 16}{U_n + 2} - U_n = \frac{10 U_n - 16 - U_n (U_n + 2)}{U_n + 2} = \frac{10 U_n - 16 - U_n^2 - 2 U_n}{U_n + 2} = \frac{-U_n^2 + 8 U_n - 16}{U_n + 2}$$ Factorisons le numérateur : $$-U_n^2 + 8 U_n - 16 = -(U_n^2 - 8 U_n + 16) = -(U_n - 4)^2$$ Donc $$U_{n+1} - U_n = -\frac{(U_n - 4)^2}{U_n + 2}$$ 4. **Étudier la monotonie de $$U_n$$ :** Comme $$U_n > 4$$ et $$U_n + 2 > 0$$, alors $$U_{n+1} - U_n \leq 0$$. Donc $$U_n$$ est décroissante. 5. **Montrer que $$U_n$$ est convergente :** Suite décroissante et minorée par 4 donc convergente. 6. **Définir $$W_n = \frac{U_n}{U_n - 4}$$ et calculer $$W_0$$ :** $$W_0 = \frac{\frac{9}{2}}{\frac{9}{2} - 4} = \frac{4.5}{0.5} = 9$$ 7. **Montrer que $$W_{n+1} = \frac{5 U_n - 8}{3 (U_n - 4)}$$ :** $$W_{n+1} = \frac{U_{n+1}}{U_{n+1} - 4}$$ On a : $$U_{n+1} = \frac{10 U_n - 16}{U_n + 2}$$ $$U_{n+1} - 4 = \frac{6 (U_n - 4)}{U_n + 2}$$ Donc $$W_{n+1} = \frac{\frac{10 U_n - 16}{U_n + 2}}{\frac{6 (U_n - 4)}{U_n + 2}} = \frac{10 U_n - 16}{6 (U_n - 4)} = \frac{5 U_n - 8}{3 (U_n - 4)}$$ 8. **Montrer que $$W_n$$ est une suite arithmétique de raison $$\frac{2}{3}$$ :** Calculons $$W_{n+1} - W_n$$ : $$W_{n+1} - W_n = \frac{5 U_n - 8}{3 (U_n - 4)} - \frac{U_n}{U_n - 4} = \frac{5 U_n - 8 - 3 U_n}{3 (U_n - 4)} = \frac{2 U_n - 8}{3 (U_n - 4)} = \frac{2 (U_n - 4)}{3 (U_n - 4)} = \frac{2}{3}$$ Donc $$W_n$$ est arithmétique de raison $$\frac{2}{3}$$. 9. **Exprimer $$W_n$$ en fonction de $$n$$ :** $$W_n = W_0 + n \times \frac{2}{3} = 9 + \frac{2n}{3}$$ 10. **Exprimer $$U_n$$ en fonction de $$n$$ :** $$W_n = \frac{U_n}{U_n - 4} \Rightarrow U_n = W_n (U_n - 4) = W_n U_n - 4 W_n$$ $$U_n - W_n U_n = -4 W_n \Rightarrow U_n (1 - W_n) = -4 W_n \Rightarrow U_n = \frac{-4 W_n}{1 - W_n}$$ Substituons $$W_n$$ : $$U_n = \frac{-4 (9 + \frac{2n}{3})}{1 - (9 + \frac{2n}{3})} = \frac{-4 (\frac{27 + 2n}{3})}{1 - 9 - \frac{2n}{3}} = \frac{-4 (27 + 2n)/3}{-8 - 2n/3} = \frac{-4 (27 + 2n)}{3} \times \frac{3}{-24 - 2n} = \frac{-4 (27 + 2n)}{-24 - 2n} = \frac{4 (27 + 2n)}{24 + 2n}$$ Simplifions par 2 : $$U_n = \frac{2 (27 + 2n)}{12 + n} = \frac{54 + 4n}{12 + n}$$ 11. **Calcul de $$\lim_{n \to +\infty} U_n$$ :** $$\lim_{n \to +\infty} \frac{54 + 4n}{12 + n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{4 + \frac{54}{n}}{1 + \frac{12}{n}} = 4$$ 12. **Calcul de la somme $$S_n = W_0 + W_1 + ... + W_n$$ :** Suite arithmétique de raison $$r = \frac{2}{3}$$ et premier terme $$W_0 = 9$$ $$S_n = (n+1) \times \frac{W_0 + W_n}{2} = (n+1) \times \frac{9 + (9 + \frac{2n}{3})}{2} = (n+1) \times \frac{18 + \frac{2n}{3}}{2} = (n+1) \times \left(9 + \frac{n}{3}\right)$$ 13. **Calcul de $$\lim_{n \to +\infty} S_n$$ :** $$\lim_{n \to +\infty} (n+1) \left(9 + \frac{n}{3}\right) = +\infty$$ --- **Résumé :** - $$D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}$$ - $$\lim_{x \to 0^\pm} f(x) = +\infty$$ - Asymptote oblique $$y = x$$ - $$f'(x) = \frac{(x-1)(x^2 + x + 4)}{x^3}$$ - Variations : croissante sur $$(-\infty, 0)$$, décroissante sur $$(0,1)$$, croissante sur $$(1, +\infty)$$ - Point d'inflexion en $$H(2,1)$$ - Intersections avec l'axe des abscisses en $$x=1$$ et $$x=-2$$ - $$U_n$$ décroissante, $$U_n > 4$$, convergente vers 4 - $$W_n$$ arithmétique de raison $$\frac{2}{3}$$