1. **Énoncé du problème :** On considère l'application $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x,y) = (x+y, yx)$. **Montrer que pour tout $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, on a $f(x,y) = f(y,x)$ et étudier l'injectivité de $f$.** 2. **Montrer que $f$ n'est pas surjective.** 3. **Montrer que $f(A) = B$ où** $$A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \leq y\}, \quad B = \{(u,v) \in \mathbb{R}^2 \mid u^2 - 4v \geq 0\}.$$ 4. **Montrer que la restriction $g$ de $f$ à $A$ est une bijection de $A$ sur $B$ et déterminer sa bijection réciproque.** --- 1. **Montrer que $f(x,y) = f(y,x)$ et injectivité** - Calculons $f(x,y) = (x+y, yx)$ et $f(y,x) = (y+x, xy)$. - Comme $x+y = y+x$ et $yx = xy$, on a $f(x,y) = f(y,x)$. **Injectivité :** - Supposons $f(x_1,y_1) = f(x_2,y_2)$, donc $$x_1 + y_1 = x_2 + y_2 \quad \text{et} \quad y_1 x_1 = y_2 x_2.$$ - Cela signifie que les couples $(x_1,y_1)$ et $(x_2,y_2)$ ont même somme et même produit. - Or, les racines de l'équation quadratique $t^2 - (x_1+y_1)t + x_1 y_1 = 0$ sont $x_1$ et $y_1$. - De même pour $(x_2,y_2)$. - Donc, si $f(x_1,y_1) = f(x_2,y_2)$, alors $\\{x_1,y_1\\} = \\{x_2,y_2\\}$ en tant qu'ensemble, mais pas nécessairement en tant que couple ordonné. - Par exemple, $f(1,2) = f(2,1)$ mais $(1,2) \neq (2,1)$. **Conclusion :** $f$ n'est pas injective. --- 2. **Montrer que $f$ n'est pas surjective** - Pour $(u,v) \in \mathbb{R}^2$, chercher $(x,y)$ tel que $$f(x,y) = (u,v) \implies \begin{cases} x + y = u \\ xy = v \end{cases}.$$ - Les solutions $(x,y)$ sont les racines de $$t^2 - ut + v = 0.$$ - Pour que $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, le discriminant doit être $\\geq 0$ : $$\Delta = u^2 - 4v \geq 0.$$ - Si $u^2 - 4v < 0$, il n'existe pas de $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ tel que $f(x,y) = (u,v)$. **Conclusion :** $f$ n'est pas surjective sur $\mathbb{R}^2$. --- 3. **Montrer que $f(A) = B$ avec** $$A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \leq y\}, \quad B = \{(u,v) \in \mathbb{R}^2 \mid u^2 - 4v \geq 0\}.$$ - Pour $(x,y) \in A$, on a $x \leq y$. - Posons $u = x + y$ et $v = xy$. - Le discriminant de $t^2 - ut + v = 0$ est $\Delta = u^2 - 4v$. - Comme $x,y$ sont réels, $\Delta \geq 0$. - Donc $f(A) \subseteq B$. - Réciproquement, pour $(u,v) \in B$, $\Delta = u^2 - 4v \geq 0$. - Les racines réelles sont $$x = \frac{u - \sqrt{\Delta}}{2}, \quad y = \frac{u + \sqrt{\Delta}}{2}.$$ - On a $x \leq y$ car $-\sqrt{\Delta} \leq \sqrt{\Delta}$. - Donc $(x,y) \in A$ et $f(x,y) = (u,v)$. **Conclusion :** $f(A) = B$. --- 4. **Montrer que $g = f|_A$ est une bijection de $A$ sur $B$ et déterminer $g^{-1}$** - $g$ est injective sur $A$ car si $g(x,y) = g(x',y')$ avec $(x,y),(x',y') \in A$, alors $$\{x,y\} = \{x',y'\}$$ et comme $x \leq y$ et $x' \leq y'$, on a $(x,y) = (x',y')$. - $g$ est surjective sur $B$ d'après la question 3. - Donc $g$ est bijective. - Pour $(u,v) \in B$, la bijection réciproque est $$g^{-1}(u,v) = \left( \frac{u - \sqrt{u^2 - 4v}}{2}, \frac{u + \sqrt{u^2 - 4v}}{2} \right).$$ --- **Résumé final :** - $f(x,y) = f(y,x)$ donc $f$ n'est pas injective. - $f$ n'est pas surjective sur $\mathbb{R}^2$. - $f(A) = B$. - La restriction $g$ de $f$ à $A$ est une bijection de $A$ sur $B$ avec $$g^{-1}(u,v) = \left( \frac{u - \sqrt{u^2 - 4v}}{2}, \frac{u + \sqrt{u^2 - 4v}}{2} \right).$$