1. **Énoncé du problème :** Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction définie par $$f(x)=\sqrt{x+5}-2 \text{ si } x \neq 3, \quad f(3)=12,$$ et trouver l'équation de la tangente en $x_0=3$. 2. **Continuité en $x=3$ :** Calculons la limite à gauche et à droite. $$\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} (\sqrt{x+5} -2) = \sqrt{3+5}-2 = \sqrt{8} - 2 = 2\sqrt{2} - 2.$$ Or, $f(3)=12.$ Comme $2\sqrt{2}-2 \approx 0.828 \neq 12$, f n'est **pas continue** en $x=3$. 3. **Dérivabilité en $x=3$ :** La dérivabilité nécessite la continuité, donc f n'est pas dérivable en $3$. 4. **Équation de la tangente en $x=3$ :** Impossible sans continuité et dérivabilité en ce point, donc il n'y a pas de tangente définie en $x=3$ pour cette fonction. --- Pour l'exercice 1 (fonction $f(x)=\sin x + x +1$) : 1.a Montrer que $f(x)=0$ a une unique solution $\beta$ sur $]-1;0[$. - $f$ est continue sur $\Bbb R$. - Calcul des valeurs aux bornes : $f(-1) = \sin(-1) -1 +1 = \sin(-1) \approx -0.84 <0$ $f(0) = 0 + 0 + 1 =1 >0$ Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $\beta \in ]-1;0[$ tel que $f(\beta)=0$. - Dérivée : $$f'(x) = \cos x +1 >0 \quad \forall x \in [-1,0],$$ car $\cos x \ge \cos 0 =1$ sur cet intervalle. Donc $f$ est strictement croissante sur $[-1,0]$, donc l'unicité. 1.b Approximation de $\beta$ à 0.5 près - $f(-0.5) = \sin (-0.5) -0.5 +1 = -0.479 -0.5 +1 = 0.021 >0$ On a $f(-1)<0$ et $f(-0.5)>0$, donc $\beta \in ]-1,-0.5[$. --- 2. Résoudre $\sqrt{x+1} + \sqrt{3-x} = \sqrt{2}$ sur $\Bbb R$. - Restriction: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$, $3-x \ge 0 \implies x \le 3$. Posons $a=\sqrt{x+1}$, $b=\sqrt{3-x}$. Equation : $a + b = \sqrt{2}$. - Carrons les deux côtés: $$a^2 + 2ab + b^2 = 2$$ Mais $a^2 = x+1$, $b^2 = 3 - x$, donc $$x+1 + 3 - x + 2ab = 2 \Rightarrow 4 + 2ab = 2 \Rightarrow 2ab = -2 \Rightarrow ab = -1.$$ Or $a,b \ge 0$, cela est impossible. Pas de solution. La seule possibilité est que $a+b=\sqrt{2}$ et $ab = 0$ (si on ne carrée pas directement). En testant extrémités: - $x = -1: a=0, b=\sqrt{4}=2$, somme=2 \neq \sqrt{2}$ - $x=3: a=\sqrt{4}=2, b=0$, somme=2 \neq \sqrt{2}$ Testons $x=0: a=\sqrt{1}=1, b=\sqrt{3} \approx 1.732$, somme=$\approx 2.732$. $\sqrt{2} \approx 1.414$, la somme est plus grande, donc pas d'intersection. Donc pas de solution réelle. --- 3. Simplification : - $A=\sqrt{3\sqrt{64}}$ $\sqrt{64} =8$, donc $$A=\sqrt{3 \times 8} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}.$$ - $B = \sqrt{\frac{2 \times 128000000}{272}}$ Calculons fraction: $$\frac{2 \times 128000000}{272} =\frac{256000000}{272} = 941176.47...$$ Cherchons simplification par factorisation: $$272=16 \times 17,$$ $$256000000 = 256 \times 1000000.$$ $$B = \sqrt{\frac{256 \times 1000000}{16 \times 17}} = \sqrt{ \frac{256}{16} \times \frac{1000000}{17} } = \sqrt{16 \times \frac{1000000}{17} } = 4 \sqrt{\frac{1000000}{17}}.$$ On laisse $B=4\sqrt{\frac{1000000}{17}}$ ou approché numériquement: $$\sqrt{\frac{1000000}{17}} = \sqrt{58823.5} \approx 242.5,$$ Donc $B \approx 4 \times 242.5 = 970.$ --- 4. Calcul des limites : - $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} -1}{x}$$ Utilisons la conjugaison ou le développement de Taylor: Développement: $$\sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + o(x^2),$$ Donc $$\frac{\sqrt{1+x} -1}{x} = \frac{1 + \frac{x}{2} + o(x) -1}{x} = \frac{x/2 + o(x)}{x} = \frac{1}{2} + o(1).$$ Limite = $\frac{1}{2}$. - $$\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x+1} - \sqrt[3]{x})$$ Utilisons asymptotes dominantes : $$\sqrt{x+1} \sim x^{1/2}, \quad \sqrt[3]{x} = x^{1/3}.$$ Comme $1/2 > 1/3$, la racine carrée croît plus vite. Donc $$\sqrt{x+1} - \sqrt[3]{x} \sim x^{1/2} \to +\infty.$$ --- **Résumé :** - $f$ n'est pas continue ni dérivable en 3. - L'équation $f(x)=0$ avec $f(x)=\sin x + x +1$ a une unique solution $\beta$ sur $]-1;0[$, approximativement $\beta \in ]-1,-0.5[$. - L'équation avec racines carrées n'a pas de solution réelle. - $A=2\sqrt{6}$ et $B \approx 970$. - Limites calculées : $\frac{1}{2}$ et $+\infty$.